関数 $f(x) = [x^3]$ が $x=0$ で連続かどうかを調べる問題です。ここで、$[x]$ は $x$ 以下の最大の整数を表すガウス記号です。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = [x^3]$ が $x=0$ で連続かどうかを調べる問題です。ここで、$[x]$ は $x$ 以下の最大の整数を表すガウス記号です。

2. 解き方の手順

関数 $f(x)$ が $x=0$ で連続であるためには、以下の3つの条件を満たす必要があります。

(1) $f(0)$ が定義されている。

(2) $\lim_{x \to 0} f(x)$ が存在する。

(3) $\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)$

まず、$f(0)$ を計算します。

$f(0) = [0^3] = [0] = 0$

次に、$\lim_{x \to 0} f(x)$ が存在するかどうかを調べます。

$\lim_{x \to 0} f(x)$ が存在するためには、左極限と右極限が一致する必要があります。

右極限を計算します。

$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} [x^3]$

$x$ が正の方向から0に近づくとき、$x^3$ も正の方向から0に近づきます。したがって、$x^3$ は 0 より大きいわずかな値を取ります。

例えば、$0 < x < 1$ のとき、$0 < x^3 < 1$ なので、$[x^3] = 0$ となります。

よって、

$\lim_{x \to 0^+} [x^3] = 0$

左極限を計算します。

$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} [x^3]$

$x$ が負の方向から0に近づくとき、$x^3$ も負の方向から0に近づきます。したがって、$x^3$ は 0 より小さいわずかな値を取ります。

例えば、$-1 < x < 0$ のとき、$-1 < x^3 < 0$ なので、$[x^3] = -1$ となります。

よって、

$\lim_{x \to 0^-} [x^3] = -1$

右極限と左極限が一致しないため、$\lim_{x \to 0} [x^3]$ は存在しません。

3. 最終的な答え

$\lim_{x \to 0^+} f(x) = 0$ であり、$\lim_{x \to 0^-} f(x) = -1$ であるため、$\lim_{x \to 0} f(x)$ は存在しません。

したがって、$f(x) = [x^3]$ は $x=0$ で連続ではありません。

関数 $f(x) = [x^3]$ は $x=0$ で連続ではない。