導関数の定義に従って、関数 $f(x) = (2x - 1)^3$ を微分する。

1. 問題の内容

導関数の定義に従って、関数 $f(x) = (2x - 1)^3$ を微分する。

2. 解き方の手順

導関数の定義は次の通りです。

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}$

まず、$f(x + h)$を計算します。

$f(x + h) = (2(x + h) - 1)^3 = (2x + 2h - 1)^3$

次に、$f(x + h) - f(x)$を計算します。

$f(x + h) - f(x) = (2x + 2h - 1)^3 - (2x - 1)^3$

ここで、$A = 2x + 2h - 1$、$B = 2x - 1$とおくと、$A^3 - B^3 = (A - B)(A^2 + AB + B^2)$が使えます。

$A - B = (2x + 2h - 1) - (2x - 1) = 2h$

$A^2 = (2x + 2h - 1)^2 = (2x - 1 + 2h)^2 = (2x - 1)^2 + 4h(2x - 1) + 4h^2$

$AB = (2x + 2h - 1)(2x - 1) = (2x - 1)^2 + 2h(2x - 1)$

$B^2 = (2x - 1)^2$

したがって、

$A^2 + AB + B^2 = 3(2x - 1)^2 + 6h(2x - 1) + 4h^2$

よって、

$f(x + h) - f(x) = (2h)[3(2x - 1)^2 + 6h(2x - 1) + 4h^2] = 6h(2x - 1)^2 + 12h^2(2x - 1) + 8h^3$

次に、$\frac{f(x + h) - f(x)}{h}$を計算します。

$\frac{f(x + h) - f(x)}{h} = \frac{6h(2x - 1)^2 + 12h^2(2x - 1) + 8h^3}{h} = 6(2x - 1)^2 + 12h(2x - 1) + 8h^2$

最後に、$\lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}$を計算します。

$f'(x) = \lim_{h \to 0} [6(2x - 1)^2 + 12h(2x - 1) + 8h^2] = 6(2x - 1)^2$

$(2x-1)^2 = 4x^2 - 4x + 1$なので、

$f'(x) = 6(4x^2 - 4x + 1) = 24x^2 - 24x + 6$

3. 最終的な答え

$f'(x) = 6(2x-1)^2 = 24x^2 - 24x + 6$