与えられた式 $R = \frac{D_{n+m}^2 - D_n^2}{4m\lambda}$ について、両辺の対数をとり、$D_{n+m}$ と $D_n$ と $\lambda$ を変数として微分せよ。

1. 問題の内容

与えられた式 $R = \frac{D_{n+m}^2 - D_n^2}{4m\lambda}$ について、両辺の対数をとり、$D_{n+m}$ と $D_n$ と $\lambda$ を変数として微分せよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式の両辺の自然対数をとります。

$\ln R = \ln \left( \frac{D_{n+m}^2 - D_n^2}{4m\lambda} \right)$

$\ln R = \ln (D_{n+m}^2 - D_n^2) - \ln(4m\lambda)$

$\ln R = \ln (D_{n+m}^2 - D_n^2) - \ln(4m) - \ln \lambda$

次に、両辺を微分します。$D_{n+m}$, $D_n$, $\lambda$ が変数であることに注意します。

$4m$ は定数なので微分すると0になることを利用します。

$\frac{dR}{R} = \frac{1}{D_{n+m}^2 - D_n^2} (2D_{n+m} dD_{n+m} - 2D_n dD_n) - \frac{d\lambda}{\lambda}$

$\frac{dR}{R} = \frac{2D_{n+m} dD_{n+m} - 2D_n dD_n}{D_{n+m}^2 - D_n^2} - \frac{d\lambda}{\lambda}$

3. 最終的な答え

$\frac{dR}{R} = \frac{2D_{n+m} dD_{n+m} - 2D_n dD_n}{D_{n+m}^2 - D_n^2} - \frac{d\lambda}{\lambda}$