関数 $f(x)$ が次のように定義されているとき、$f(x)$ が実数全体で定義された連続関数になるように定数 $a$ の値を定める。 $f(x) = \begin{cases} x & (x \geq 0) \\ -2x + a & (x < 0) \end{cases}$

1. 問題の内容

関数 $f(x)$ が次のように定義されているとき、$f(x)$ が実数全体で定義された連続関数になるように定数 $a$ の値を定める。

$f(x) = \begin{cases} x & (x \geq 0) \\ -2x + a & (x < 0) \end{cases}$

2. 解き方の手順

関数 $f(x)$ が連続であるためには、$x = 0$ で連続である必要がある。すなわち、$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^-} f(x) = f(0)$ が成り立つ必要がある。

まず、$f(0)$ を計算する。$x \geq 0$ の場合、$f(x) = x$ なので、$f(0) = 0$ となる。

次に、右側極限 $\lim_{x \to 0^+} f(x)$ を計算する。$x > 0$ のとき、$f(x) = x$ なので、

$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} x = 0$ となる。

最後に、左側極限 $\lim_{x \to 0^-} f(x)$ を計算する。$x < 0$ のとき、$f(x) = -2x + a$ なので、

$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} (-2x + a) = -2(0) + a = a$ となる。

したがって、$f(x)$ が $x=0$ で連続であるためには、$a = 0$ となる必要がある。

3. 最終的な答え

$a = 0$