関数 $f(x)$ が次のように定義されています。 $f(x) = \begin{cases} \frac{\tan 2x}{x} & (x \neq 0) \\ a & (x = 0) \end{cases}$ この関数が $-\frac{\pi}{4} < x < \frac{\pi}{4}$ で連続になるように、$a$ の値を定める問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x)$ が次のように定義されています。

$f(x) = \begin{cases} \frac{\tan 2x}{x} & (x \neq 0) \\ a & (x = 0) \end{cases}$

この関数が $-\frac{\pi}{4} < x < \frac{\pi}{4}$ で連続になるように、$a$ の値を定める問題です。

2. 解き方の手順

関数 $f(x)$ が $x=0$ で連続であるためには、$\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)$ が成り立つ必要があります。つまり、$\lim_{x \to 0} \frac{\tan 2x}{x} = a$ となるように $a$ の値を決定します。

$\lim_{x \to 0} \frac{\tan 2x}{x}$ を計算します。

$\tan 2x = \frac{\sin 2x}{\cos 2x}$ なので、

$\lim_{x \to 0} \frac{\tan 2x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{x \cos 2x}$ となります。

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{x \cos 2x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{2x} \cdot \frac{2}{\cos 2x}$

ここで、$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{2x} = 1$ および $\lim_{x \to 0} \cos 2x = 1$ であるから、

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{2x} \cdot \frac{2}{\cos 2x} = 1 \cdot \frac{2}{1} = 2$

したがって、

$\lim_{x \to 0} \frac{\tan 2x}{x} = 2$

連続性より、$a = \lim_{x \to 0} \frac{\tan 2x}{x} = 2$ である必要があります。

3. 最終的な答え

$a = 2$