問題は以下の通りです。 (1) 関数 $f(x) = e^{ax}\cos(bx)$ の1次導関数 $f'(x)$ と2次導関数 $f''(x)$ を求める。 (2) 関数 $f(x) = x^2\ln(x)$ の1次導関数 $f'(x)$ と2次導関数 $f''(x)$ を求める。 (3) $e^{-x} \frac{d^3}{dx^3}(x^4e^x)$, $\frac{d}{dx} x^4e^x$, $\frac{d^2}{dx^2} x^4e^x$, $\frac{d^3}{dx^3} x^4e^x$, $e^{-x} \frac{d^3}{dx^3} x^4e^x$ を計算する。

はい、承知いたしました。画像の問題を解きます。

1. 問題の内容

問題は以下の通りです。

(1) 関数 $f(x) = e^{ax}\cos(bx)$ の1次導関数 $f'(x)$ と2次導関数 $f''(x)$ を求める。

(2) 関数 $f(x) = x^2\ln(x)$ の1次導関数 $f'(x)$ と2次導関数 $f''(x)$ を求める。

(3) $e^{-x} \frac{d^3}{dx^3}(x^4e^x)$, $\frac{d}{dx} x^4e^x$, $\frac{d^2}{dx^2} x^4e^x$, $\frac{d^3}{dx^3} x^4e^x$, $e^{-x} \frac{d^3}{dx^3} x^4e^x$ を計算する。

2. 解き方の手順

(1) $f(x) = e^{ax}\cos(bx)$ の導関数

積の微分公式 $(uv)' = u'v + uv'$ を用います。

$f'(x) = (e^{ax})'\cos(bx) + e^{ax}(\cos(bx))' = ae^{ax}\cos(bx) - be^{ax}\sin(bx) = e^{ax}(a\cos(bx) - b\sin(bx))$

$f''(x) = (e^{ax})'(a\cos(bx) - b\sin(bx)) + e^{ax}(a\cos(bx) - b\sin(bx))' = ae^{ax}(a\cos(bx) - b\sin(bx)) + e^{ax}(-a b\sin(bx) - b^2\cos(bx)) = e^{ax}(a^2\cos(bx) - ab\sin(bx) - ab\sin(bx) - b^2\cos(bx)) = e^{ax}((a^2 - b^2)\cos(bx) - 2ab\sin(bx))$

(2) $f(x) = x^2\ln(x)$ の導関数

積の微分公式を用います。

$f'(x) = (x^2)'\ln(x) + x^2(\ln(x))' = 2x\ln(x) + x^2\cdot\frac{1}{x} = 2x\ln(x) + x = x(2\ln(x) + 1)$

$f''(x) = (x)'(2\ln(x) + 1) + x(2\ln(x) + 1)' = (2\ln(x) + 1) + x\cdot\frac{2}{x} = 2\ln(x) + 1 + 2 = 2\ln(x) + 3$

(3) $x^4e^x$ の導関数

$\frac{d}{dx} x^4e^x = 4x^3e^x + x^4e^x = (x^4 + 4x^3)e^x$

$\frac{d^2}{dx^2} x^4e^x = \frac{d}{dx} (x^4 + 4x^3)e^x = (4x^3 + 12x^2)e^x + (x^4 + 4x^3)e^x = (x^4 + 8x^3 + 12x^2)e^x$

$\frac{d^3}{dx^3} x^4e^x = \frac{d}{dx} (x^4 + 8x^3 + 12x^2)e^x = (4x^3 + 24x^2 + 24x)e^x + (x^4 + 8x^3 + 12x^2)e^x = (x^4 + 12x^3 + 36x^2 + 24x)e^x$

$e^{-x} \frac{d^3}{dx^3} x^4e^x = e^{-x} (x^4 + 12x^3 + 36x^2 + 24x)e^x = x^4 + 12x^3 + 36x^2 + 24x$

3. 最終的な答え

(1) $f(x) = e^{ax}\cos(bx)$ のとき

$f'(x) = e^{ax}(a\cos(bx) - b\sin(bx))$

$f''(x) = e^{ax}((a^2 - b^2)\cos(bx) - 2ab\sin(bx))$

(2) $f(x) = x^2\ln(x)$ のとき

$f'(x) = x(2\ln(x) + 1)$

$f''(x) = 2\ln(x) + 3$

(3)

$\frac{d}{dx} x^4e^x = (x^4 + 4x^3)e^x$

$\frac{d^2}{dx^2} x^4e^x = (x^4 + 8x^3 + 12x^2)e^x$

$\frac{d^3}{dx^3} x^4e^x = (x^4 + 12x^3 + 36x^2 + 24x)e^x$

$e^{-x} \frac{d^3}{dx^3} x^4e^x = x^4 + 12x^3 + 36x^2 + 24x$