与えられた関数 $f(x)$ に対して、一階微分 $f'(x)$ と二階微分 $f''(x)$ を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた関数 $f(x)$ に対して、一階微分 $f'(x)$ と二階微分 $f''(x)$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) $f(x) = e^{ax}\cos(bx)$ の場合

* 一階微分 $f'(x)$ を求める：積の微分公式 $(uv)' = u'v + uv'$ を利用します。ここで $u = e^{ax}$、$v = \cos(bx)$ とすると、$u' = ae^{ax}$、$v' = -b\sin(bx)$ となります。

したがって、$f'(x) = ae^{ax}\cos(bx) - be^{ax}\sin(bx) = e^{ax}(a\cos(bx) - b\sin(bx))$

* 二階微分 $f''(x)$ を求める：再び積の微分公式を利用します。$u = e^{ax}$、$v = a\cos(bx) - b\sin(bx)$ とすると、$u' = ae^{ax}$、$v' = -ab\sin(bx) - b^2\cos(bx)$ となります。

したがって、$f''(x) = ae^{ax}(a\cos(bx) - b\sin(bx)) + e^{ax}(-ab\sin(bx) - b^2\cos(bx)) = e^{ax}((a^2-b^2)\cos(bx) - 2ab\sin(bx))$

(2) $f(x) = x^2\ln(x)$ の場合

* 一階微分 $f'(x)$ を求める：積の微分公式 $(uv)' = u'v + uv'$ を利用します。ここで $u = x^2$、$v = \ln(x)$ とすると、$u' = 2x$、$v' = \frac{1}{x}$ となります。

したがって、$f'(x) = 2x\ln(x) + x^2\cdot\frac{1}{x} = 2x\ln(x) + x$

3. 最終的な答え

(1) $f(x) = e^{ax}\cos(bx)$ の場合

$f'(x) = e^{ax}(a\cos(bx) - b\sin(bx))$

$f''(x) = e^{ax}((a^2-b^2)\cos(bx) - 2ab\sin(bx))$

(2) $f(x) = x^2\ln(x)$ の場合

$f'(x) = 2x\ln(x) + x$