以下の3つの不定積分を計算します。 (1) $\int \frac{6}{x^2 + 4x - 5} dx$ (2) $\int \cos^2 3x \, dx$ (3) $\int \frac{x}{\sqrt{2x+1}} \, dx$

1. 問題の内容

以下の3つの不定積分を計算します。

(1) $\int \frac{6}{x^2 + 4x - 5} dx$

(2) $\int \cos^2 3x \, dx$

(3) $\int \frac{x}{\sqrt{2x+1}} \, dx$

2. 解き方の手順

(1) $\int \frac{6}{x^2 + 4x - 5} dx$

まず、分母を因数分解します。 $x^2 + 4x - 5 = (x+5)(x-1)$。

次に、部分分数分解を行います。

$\frac{6}{(x+5)(x-1)} = \frac{A}{x+5} + \frac{B}{x-1}$

$6 = A(x-1) + B(x+5)$

$x=1$ を代入すると、$6 = 6B$ より $B=1$。

$x=-5$ を代入すると、$6 = -6A$ より $A=-1$。

したがって、

$\int \frac{6}{x^2 + 4x - 5} dx = \int \left( \frac{-1}{x+5} + \frac{1}{x-1} \right) dx = -\int \frac{1}{x+5} dx + \int \frac{1}{x-1} dx$

$= -\ln|x+5| + \ln|x-1| + C = \ln\left| \frac{x-1}{x+5} \right| + C$

(2) $\int \cos^2 3x \, dx$

$\cos^2 \theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}$ を用いて、$\cos^2 3x = \frac{1 + \cos 6x}{2}$。

$\int \cos^2 3x \, dx = \int \frac{1 + \cos 6x}{2} \, dx = \frac{1}{2} \int (1 + \cos 6x) \, dx = \frac{1}{2} \left( \int 1 \, dx + \int \cos 6x \, dx \right)$

$= \frac{1}{2} \left( x + \frac{1}{6} \sin 6x \right) + C = \frac{1}{2}x + \frac{1}{12} \sin 6x + C$

(3) $\int \frac{x}{\sqrt{2x+1}} \, dx$

$u = 2x+1$ と置換すると、$x = \frac{u-1}{2}$、$du = 2dx$ より $dx = \frac{1}{2}du$。

$\int \frac{x}{\sqrt{2x+1}} \, dx = \int \frac{\frac{u-1}{2}}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} \, du = \frac{1}{4} \int \frac{u-1}{\sqrt{u}} \, du = \frac{1}{4} \int (u^{1/2} - u^{-1/2}) \, du$

$= \frac{1}{4} \left( \frac{u^{3/2}}{3/2} - \frac{u^{1/2}}{1/2} \right) + C = \frac{1}{4} \left( \frac{2}{3} u^{3/2} - 2 u^{1/2} \right) + C = \frac{1}{6} u^{3/2} - \frac{1}{2} u^{1/2} + C$

$= \frac{1}{6} (2x+1)^{3/2} - \frac{1}{2} (2x+1)^{1/2} + C = \frac{1}{6} (2x+1)^{1/2} (2x+1 - 3) + C = \frac{1}{6} (2x+1)^{1/2} (2x-2) + C$

$= \frac{1}{3} (x-1) \sqrt{2x+1} + C$

3. 最終的な答え

(1) $\ln\left| \frac{x-1}{x+5} \right| + C$

(2) $\frac{1}{2}x + \frac{1}{12} \sin 6x + C$

(3) $\frac{1}{3} (x-1) \sqrt{2x+1} + C$