## 1. 問題の内容

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1. 問題の内容

以下の3つの積分を計算します。

1. $\int \frac{6}{x^2 + 4x - 5} dx$

2. $\int \cos^2 3x dx$

3. $\int \frac{x}{\sqrt{2x+1}} dx$

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2. 解き方の手順

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1. $\int \frac{6}{x^2 + 4x - 5} dx$

まず、分母を因数分解します。

$x^2 + 4x - 5 = (x+5)(x-1)$

次に、部分分数分解を行います。

$\frac{6}{(x+5)(x-1)} = \frac{A}{x+5} + \frac{B}{x-1}$

$6 = A(x-1) + B(x+5)$

$x=1$ のとき、$6 = 6B$ より $B=1$。

$x=-5$ のとき、$6 = -6A$ より $A=-1$。

したがって、

$\frac{6}{(x+5)(x-1)} = \frac{-1}{x+5} + \frac{1}{x-1}$

積分は次のようになります。

$\int \frac{6}{x^2 + 4x - 5} dx = \int (\frac{-1}{x+5} + \frac{1}{x-1}) dx = -\int \frac{1}{x+5} dx + \int \frac{1}{x-1} dx$

$= -\ln|x+5| + \ln|x-1| + C = \ln|\frac{x-1}{x+5}| + C$

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2. $\int \cos^2 3x dx$

$\cos^2 \theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}$ の公式を使用します。

$\cos^2 3x = \frac{1 + \cos 6x}{2}$

積分は次のようになります。

$\int \cos^2 3x dx = \int \frac{1 + \cos 6x}{2} dx = \frac{1}{2} \int (1 + \cos 6x) dx = \frac{1}{2} (x + \frac{1}{6}\sin 6x) + C$

$= \frac{1}{2}x + \frac{1}{12}\sin 6x + C$

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3. $\int \frac{x}{\sqrt{2x+1}} dx$

問題文の右側に $2x+1=t$ と $dx = \frac{1}{2} dt$ というヒントがあります。これを利用して置換積分を行います。

$2x + 1 = t$ より $2x = t-1$ なので $x = \frac{t-1}{2}$ です。

$\int \frac{x}{\sqrt{2x+1}} dx = \int \frac{\frac{t-1}{2}}{\sqrt{t}} \frac{1}{2} dt = \frac{1}{4} \int \frac{t-1}{\sqrt{t}} dt = \frac{1}{4} \int (t^{\frac{1}{2}} - t^{-\frac{1}{2}}) dt$

$= \frac{1}{4} (\frac{2}{3}t^{\frac{3}{2}} - 2t^{\frac{1}{2}}) + C = \frac{1}{6}t^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{2}t^{\frac{1}{2}} + C$

$t = 2x+1$ を代入します。

$= \frac{1}{6}(2x+1)^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{2}(2x+1)^{\frac{1}{2}} + C = \frac{1}{6}(2x+1)\sqrt{2x+1} - \frac{1}{2}\sqrt{2x+1} + C$

$= \sqrt{2x+1}(\frac{2x+1}{6} - \frac{1}{2}) + C = \sqrt{2x+1}(\frac{2x+1-3}{6}) + C = \sqrt{2x+1}(\frac{2x-2}{6}) + C$

$= \frac{1}{3}(x-1)\sqrt{2x+1} + C$

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3. 最終的な答え

1. $\int \frac{6}{x^2 + 4x - 5} dx = \ln|\frac{x-1}{x+5}| + C$

2. $\int \cos^2 3x dx = \frac{1}{2}x + \frac{1}{12}\sin 6x + C$

3. $\int \frac{x}{\sqrt{2x+1}} dx = \frac{1}{3}(x-1)\sqrt{2x+1} + C$