## 1. 問題の内容

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1. 問題の内容

与えられた積分を計算します。

(1) $\int \cos^2(3x) dx$

(2) $\int \frac{x}{\sqrt{2x+1}} dx$

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2. 解き方の手順

**(1) $\int \cos^2(3x) dx$**

ステップ1: $\cos^2(x)$ の倍角の公式を使用します。

$\cos^2(x) = \frac{1 + \cos(2x)}{2}$

したがって、

$\cos^2(3x) = \frac{1 + \cos(6x)}{2}$

ステップ2: 積分を計算します。

$\int \cos^2(3x) dx = \int \frac{1 + \cos(6x)}{2} dx$

$= \frac{1}{2} \int (1 + \cos(6x)) dx$

$= \frac{1}{2} \left[ \int 1 dx + \int \cos(6x) dx \right]$

$= \frac{1}{2} \left[ x + \frac{1}{6} \sin(6x) \right] + C$

$= \frac{1}{2}x + \frac{1}{12} \sin(6x) + C$

**(2) $\int \frac{x}{\sqrt{2x+1}} dx$**

ステップ1: 置換積分を行います。

$u = 2x + 1$ と置くと、$du = 2dx$ より $dx = \frac{1}{2}du$ となります。

また、$x = \frac{u-1}{2}$ です。

ステップ2: 積分を書き換えます。

$\int \frac{x}{\sqrt{2x+1}} dx = \int \frac{\frac{u-1}{2}}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} du$

$= \frac{1}{4} \int \frac{u-1}{\sqrt{u}} du$

$= \frac{1}{4} \int \frac{u}{\sqrt{u}} - \frac{1}{\sqrt{u}} du$

$= \frac{1}{4} \int (u^{1/2} - u^{-1/2}) du$

$= \frac{1}{4} \left[ \int u^{1/2} du - \int u^{-1/2} du \right]$

$= \frac{1}{4} \left[ \frac{u^{3/2}}{3/2} - \frac{u^{1/2}}{1/2} \right] + C$

$= \frac{1}{4} \left[ \frac{2}{3}u^{3/2} - 2u^{1/2} \right] + C$

$= \frac{1}{6}u^{3/2} - \frac{1}{2}u^{1/2} + C$

ステップ3: $u$ を $x$ に戻します。

$= \frac{1}{6}(2x+1)^{3/2} - \frac{1}{2}(2x+1)^{1/2} + C$

$= \frac{1}{6}\sqrt{2x+1}((2x+1)-3) + C$

$= \frac{1}{6}\sqrt{2x+1}(2x-2) + C$

$= \frac{1}{3}\sqrt{2x+1}(x-1) + C$

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3. 最終的な答え

(1) $\int \cos^2(3x) dx = \frac{1}{2}x + \frac{1}{12} \sin(6x) + C$

(2) $\int \frac{x}{\sqrt{2x+1}} dx = \frac{1}{3}(x-1)\sqrt{2x+1} + C$