$\int \frac{x}{\sqrt{2x+1}} dx$ を計算してください。

1. 問題の内容

$\int \frac{x}{\sqrt{2x+1}} dx$ を計算してください。

2. 解き方の手順

まず、置換積分を行います。

$u = 2x+1$ とおくと、$du = 2 dx$ となり、$dx = \frac{1}{2} du$ です。

また、$x = \frac{u-1}{2}$ となります。

したがって、

$\int \frac{x}{\sqrt{2x+1}} dx = \int \frac{(u-1)/2}{\sqrt{u}} \frac{1}{2} du = \frac{1}{4} \int \frac{u-1}{\sqrt{u}} du = \frac{1}{4} \int (u^{1/2} - u^{-1/2}) du$

$\frac{1}{4} \int (u^{1/2} - u^{-1/2}) du = \frac{1}{4} (\frac{2}{3}u^{3/2} - 2u^{1/2}) + C = \frac{1}{6} u^{3/2} - \frac{1}{2} u^{1/2} + C$

ここで、$u = 2x+1$ を代入して、

$\frac{1}{6} (2x+1)^{3/2} - \frac{1}{2} (2x+1)^{1/2} + C = \frac{1}{6} (2x+1)^{3/2} - \frac{3}{6} (2x+1)^{1/2} + C = \frac{1}{6}(2x+1)^{1/2} [(2x+1) - 3] + C = \frac{1}{6}(2x+1)^{1/2} (2x-2) + C = \frac{1}{3}(x-1)\sqrt{2x+1} + C$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{3}(x-1)\sqrt{2x+1} + C$