$\int (e^{2x} + \sin 3x) dx$ を計算してください。

## 問題1

1. 問題の内容

$\int (e^{2x} + \sin 3x) dx$ を計算してください。

2. 解き方の手順

積分を分割します。

$\int e^{2x} dx + \int \sin 3x dx$

$\int e^{2x} dx$ を計算します。$u = 2x$ と置換すると、$du = 2 dx$、したがって $dx = \frac{1}{2} du$ となります。

$\int e^{2x} dx = \int e^u \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int e^u du = \frac{1}{2} e^u + C_1 = \frac{1}{2} e^{2x} + C_1$

$\int \sin 3x dx$ を計算します。$v = 3x$ と置換すると、$dv = 3 dx$、したがって $dx = \frac{1}{3} dv$ となります。

$\int \sin 3x dx = \int \sin v \frac{1}{3} dv = \frac{1}{3} \int \sin v dv = \frac{1}{3} (-\cos v) + C_2 = -\frac{1}{3} \cos 3x + C_2$

したがって、

$\int (e^{2x} + \sin 3x) dx = \frac{1}{2} e^{2x} - \frac{1}{3} \cos 3x + C$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{2} e^{2x} - \frac{1}{3} \cos 3x + C$

## 問題2

1. 問題の内容

$\int \frac{6}{x^2 + 4x - 5} dx$ を計算してください。

2. 解き方の手順

まず、分母を因数分解します。

$x^2 + 4x - 5 = (x+5)(x-1)$

次に、被積分関数を部分分数に分解します。

$\frac{6}{x^2 + 4x - 5} = \frac{6}{(x+5)(x-1)} = \frac{A}{x+5} + \frac{B}{x-1}$

両辺に $(x+5)(x-1)$ を掛けると、

$6 = A(x-1) + B(x+5)$

$x = 1$ のとき、$6 = A(0) + B(6)$、したがって $B = 1$

$x = -5$ のとき、$6 = A(-6) + B(0)$、したがって $A = -1$

$\int \frac{6}{x^2 + 4x - 5} dx = \int (\frac{-1}{x+5} + \frac{1}{x-1}) dx = -\int \frac{1}{x+5} dx + \int \frac{1}{x-1} dx$

$\int \frac{1}{x+5} dx = \ln |x+5| + C_1$

$\int \frac{1}{x-1} dx = \ln |x-1| + C_2$

したがって、

$\int \frac{6}{x^2 + 4x - 5} dx = -\ln |x+5| + \ln |x-1| + C = \ln |\frac{x-1}{x+5}| + C$

3. 最終的な答え

$\ln |\frac{x-1}{x+5}| + C$