与えられた5つの関数の極限を求める問題です。 (1) $\lim_{x \to 2} \frac{2\sqrt{x}-1-x}{x^2 - 4x + 4}$ (2) $\lim_{x \to \infty} x \log \frac{x-2}{x+2}$ (3) $\lim_{x \to +0} (\frac{\sin^2 x}{x^4} - \frac{1}{x^2})$ (4) $\lim_{x \to \infty} (1 + \frac{1}{e^x})^x$ (5) $\lim_{x \to +0} (2^x + 3^x - 1)^{1/x}$

はい、承知いたしました。以下の形式で問題の解答を示します。

1. 問題の内容

与えられた5つの関数の極限を求める問題です。

(1) $\lim_{x \to 2} \frac{2\sqrt{x}-1-x}{x^2 - 4x + 4}$

(2) $\lim_{x \to \infty} x \log \frac{x-2}{x+2}$

(3) $\lim_{x \to +0} (\frac{\sin^2 x}{x^4} - \frac{1}{x^2})$

(4) $\lim_{x \to \infty} (1 + \frac{1}{e^x})^x$

(5) $\lim_{x \to +0} (2^x + 3^x - 1)^{1/x}$

2. 解き方の手順

(1) 式を整理してロピタルの定理を使うか、式変形を行う。

(2) 対数の中の分数を整理し、$\frac{0}{0}$の形になるように変形する。

(3) 通分して、sinのテイラー展開を利用する。

(4) 自然対数の底$e$の定義を利用する。

(5) 指数関数の極限を求める問題なので、自然対数をとり、ロピタルの定理を用いる。

(1)

$\lim_{x \to 2} \frac{2\sqrt{x} - 1 - x}{x^2 - 4x + 4} = \lim_{x \to 2} \frac{2\sqrt{x} - 1 - x}{(x - 2)^2}$

$x = t^2$とおくと、$x \to 2$のとき$t \to \sqrt{2}$.

$\lim_{t \to \sqrt{2}} \frac{2t - 1 - t^2}{(t^2 - 2)^2} = \lim_{t \to \sqrt{2}} \frac{-(t-1)^2}{(t - \sqrt{2})^2 (t + \sqrt{2})^2}$

さらに式変形して,

$= \lim_{t \to \sqrt{2}} \frac{-(t-1)^2}{(t - \sqrt{2})^2 (t + \sqrt{2})^2}$ となるが, これは$-\infty$ に発散する。

ただし, $2\sqrt{x} - 1 -x = 2t - 1 - t^2 = -(t-1)^2 < 0$ であり, $(x-2)^2 = (t^2-2)^2 > 0$ なので, 常に負の値を取りながら0に近づく.

ロピタルの定理を用いることもできる.

(2)

$\lim_{x \to \infty} x \log \frac{x - 2}{x + 2} = \lim_{x \to \infty} x \log \frac{1 - 2/x}{1 + 2/x} = \lim_{x \to \infty} x (\log (1 - 2/x) - \log (1 + 2/x))$

ここで、$t = 1/x$とおくと、$x \to \infty$のとき$t \to 0$.

$\lim_{t \to 0} \frac{\log (1 - 2t) - \log (1 + 2t)}{t}$.

ロピタルの定理を使うと、

$\lim_{t \to 0} \frac{\frac{-2}{1 - 2t} - \frac{2}{1 + 2t}}{1} = \lim_{t \to 0} \frac{-2(1 + 2t) - 2(1 - 2t)}{(1 - 2t)(1 + 2t)} = \frac{-4}{1} = -4$

(3)

$\lim_{x \to +0} (\frac{\sin^2 x}{x^4} - \frac{1}{x^2}) = \lim_{x \to +0} \frac{\sin^2 x - x^2}{x^4}$

$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - ...$ より、

$\sin^2 x = (x - \frac{x^3}{6} + ...)^2 = x^2 - \frac{x^4}{3} + O(x^6)$

$\lim_{x \to +0} \frac{x^2 - \frac{x^4}{3} - x^2}{x^4} = \lim_{x \to +0} \frac{-\frac{x^4}{3}}{x^4} = -\frac{1}{3}$

(4)

$\lim_{x \to \infty} (1 + \frac{1}{e^x})^x = \lim_{x \to \infty} e^{x \log (1 + \frac{1}{e^x})} = e^{\lim_{x \to \infty} x \log (1 + \frac{1}{e^x})}$

ここで、$t = e^{-x}$とおくと、$x \to \infty$のとき、$t \to 0$. また、$x = -\log t$.

$\lim_{t \to 0} -\log t \cdot \log (1 + t) = -\lim_{t \to 0} \frac{\log (1 + t)}{1 / \log t}$

$\lim_{t \to 0} \frac{\log (1 + t)}{t} \cdot t \cdot \log (-1/\log t) = 0$ となるので、

$e^0 = 1$

(5)

$\lim_{x \to +0} (2^x + 3^x - 1)^{1/x}$

$y = (2^x + 3^x - 1)^{1/x}$とおくと、$\log y = \frac{\log (2^x + 3^x - 1)}{x}$

$\lim_{x \to +0} \frac{\log (2^x + 3^x - 1)}{x}$. ロピタルの定理を使うと、

$\lim_{x \to +0} \frac{2^x \log 2 + 3^x \log 3}{2^x + 3^x - 1} = \frac{\log 2 + \log 3}{1 + 1 - 1} = \log 2 + \log 3 = \log 6$

よって、$\lim_{x \to +0} \log y = \log 6$なので、$\lim_{x \to +0} y = 6$.

3. 最終的な答え

(1) $-\infty$

(2) -4

(3) -1/3

(4) 1

(5) 6