与えられた10個の極限の計算問題です。

1. 問題の内容

与えられた10個の極限の計算問題です。

2. 解き方の手順

(1) $\lim_{x \to 2} \frac{2x^2 - x - 6}{3x^2 - 2x - 8}$

分子と分母を因数分解します。

$2x^2 - x - 6 = (2x+3)(x-2)$

$3x^2 - 2x - 8 = (3x+4)(x-2)$

$\lim_{x \to 2} \frac{(2x+3)(x-2)}{(3x+4)(x-2)} = \lim_{x \to 2} \frac{2x+3}{3x+4}$

$x=2$を代入します。

$\frac{2(2)+3}{3(2)+4} = \frac{4+3}{6+4} = \frac{7}{10}$

(2) $\lim_{x \to \infty} \frac{3x - 6x^2 + x^3}{2 - 5x^3}$

分子と分母を$x^3$で割ります。

$\lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3}{x^2} - \frac{6}{x} + 1}{\frac{2}{x^3} - 5}$

$x \to \infty$のとき、$\frac{3}{x^2} \to 0$, $\frac{6}{x} \to 0$, $\frac{2}{x^3} \to 0$なので、

$\lim_{x \to \infty} \frac{0 - 0 + 1}{0 - 5} = \frac{1}{-5} = -\frac{1}{5}$

(3) $\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2 + 2x - 3} - x + 1)$

$\sqrt{x^2 + 2x - 3} - (x - 1) = \frac{(\sqrt{x^2 + 2x - 3} - (x - 1))(\sqrt{x^2 + 2x - 3} + (x - 1))}{\sqrt{x^2 + 2x - 3} + (x - 1)}$

$= \frac{x^2 + 2x - 3 - (x - 1)^2}{\sqrt{x^2 + 2x - 3} + x - 1} = \frac{x^2 + 2x - 3 - (x^2 - 2x + 1)}{\sqrt{x^2 + 2x - 3} + x - 1}$

$= \frac{4x - 4}{\sqrt{x^2 + 2x - 3} + x - 1} = \frac{4 - \frac{4}{x}}{\sqrt{1 + \frac{2}{x} - \frac{3}{x^2}} + 1 - \frac{1}{x}}$

$x \to \infty$のとき、$\frac{4}{x} \to 0$, $\frac{2}{x} \to 0$, $\frac{3}{x^2} \to 0$, $\frac{1}{x} \to 0$なので、

$\lim_{x \to \infty} \frac{4 - \frac{4}{x}}{\sqrt{1 + \frac{2}{x} - \frac{3}{x^2}} + 1 - \frac{1}{x}} = \frac{4}{\sqrt{1} + 1} = \frac{4}{2} = 2$

(4) $\lim_{x \to 1} \frac{x - 1}{\sqrt{x} - 1}$

$\frac{x - 1}{\sqrt{x} - 1} = \frac{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)}{\sqrt{x} - 1} = \sqrt{x} + 1$

$\lim_{x \to 1} (\sqrt{x} + 1) = \sqrt{1} + 1 = 1 + 1 = 2$

(5) $\lim_{x \to +0} \frac{|x|}{x}$

$x \to +0$のとき、$x > 0$なので、$|x| = x$

$\lim_{x \to +0} \frac{x}{x} = 1$

(6) $\lim_{x \to -0} \frac{|x|}{x}$

$x \to -0$のとき、$x < 0$なので、$|x| = -x$

$\lim_{x \to -0} \frac{-x}{x} = -1$

(7) $\lim_{x \to 0} \frac{|x|}{x}$

右側極限は1、左側極限は-1なので、極限は存在しません。

(8) $\lim_{x \to 2} \frac{x^3 - 8}{x - 2}$

$x^3 - 8 = (x - 2)(x^2 + 2x + 4)$

$\lim_{x \to 2} \frac{(x - 2)(x^2 + 2x + 4)}{x - 2} = \lim_{x \to 2} (x^2 + 2x + 4)$

$= 2^2 + 2(2) + 4 = 4 + 4 + 4 = 12$

(9) $\lim_{x \to 1} \frac{x^2 + x}{x + 1}$

$\lim_{x \to 1} \frac{x(x + 1)}{x + 1} = \lim_{x \to 1} x = 1$

(10) $\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2}$

$x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$

$\lim_{x \to 2} \frac{(x - 2)(x + 2)}{x - 2} = \lim_{x \to 2} (x + 2) = 2 + 2 = 4$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{7}{10}$

(2) $-\frac{1}{5}$

(3) $2$

(4) $2$

(5) $1$

(6) $-1$

(7) 存在しない

(8) $12$

(9) $1$

(10) $4$