$\frac{d}{dx} \left( \int_x^{2x} \cos^2 t dt \right) = (\text{ア}) \cos^2 2x + (\text{イ}) \cos^2 x$ の $(\text{ア})$ と $(\text{イ})$ に入る数値を求めよ。

1. 問題の内容

$\frac{d}{dx} \left( \int_x^{2x} \cos^2 t dt \right) = (\text{ア}) \cos^2 2x + (\text{イ}) \cos^2 x$ の $(\text{ア})$ と $(\text{イ})$ に入る数値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、積分区間が関数を含んでいる積分を微分するため、微積分学の基本定理を利用します。

微積分学の基本定理を拡張した公式は以下の通りです。

$\frac{d}{dx} \left( \int_{g(x)}^{h(x)} f(t) dt \right) = f(h(x)) \cdot h'(x) - f(g(x)) \cdot g'(x)$

この公式を今回の問題に適用すると、以下のようになります。

$f(t) = \cos^2 t$, $g(x) = x$, $h(x) = 2x$ であるため、

$g'(x) = 1$, $h'(x) = 2$ となります。

よって、

$\frac{d}{dx} \left( \int_x^{2x} \cos^2 t dt \right) = \cos^2 (2x) \cdot 2 - \cos^2 (x) \cdot 1 = 2 \cos^2 2x - \cos^2 x$

したがって、 $(\text{ア}) = 2$, $(\text{イ}) = -1$ となります。

3. 最終的な答え

$(\text{ア}) = 2$

$(\text{イ}) = -1$