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(1) $S = 1\cdot1 + 2\cdot4 + 3\cdot4^2 + \dots + n\cdot4^{n-1}$ (2) $S = 1 + \frac{2}{3} + \frac{3}{3^2} + \dots + \frac{n}{3^{n-1}}$ 上記の2つの和 $S$ を求める問題です。

解析学級数数列の和等比数列
2025/7/4

1. 問題の内容

(1) S=1⋅1+2⋅4+3⋅42+⋯+n⋅4n−1S = 1\cdot1 + 2\cdot4 + 3\cdot4^2 + \dots + n\cdot4^{n-1}
(2) S=1+23+332+⋯+n3n−1S = 1 + \frac{2}{3} + \frac{3}{3^2} + \dots + \frac{n}{3^{n-1}}
上記の2つの和 SS を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) について
S=1⋅1+2⋅4+3⋅42+⋯+n⋅4n−1S = 1\cdot1 + 2\cdot4 + 3\cdot4^2 + \dots + n\cdot4^{n-1}
4S=1⋅4+2⋅42+3⋅43+⋯+(n−1)⋅4n−1+n⋅4n4S = 1\cdot4 + 2\cdot4^2 + 3\cdot4^3 + \dots + (n-1)\cdot4^{n-1} + n\cdot4^n
S−4S=(1⋅1+2⋅4+3⋅42+⋯+n⋅4n−1)−(1⋅4+2⋅42+3⋅43+⋯+(n−1)⋅4n−1+n⋅4n)S - 4S = (1\cdot1 + 2\cdot4 + 3\cdot4^2 + \dots + n\cdot4^{n-1}) - (1\cdot4 + 2\cdot4^2 + 3\cdot4^3 + \dots + (n-1)\cdot4^{n-1} + n\cdot4^n)
−3S=1+4+42+⋯+4n−1−n⋅4n-3S = 1 + 4 + 4^2 + \dots + 4^{n-1} - n\cdot4^n
−3S=1(4n−1)4−1−n⋅4n-3S = \frac{1(4^n - 1)}{4 - 1} - n\cdot4^n
−3S=4n−13−n⋅4n-3S = \frac{4^n - 1}{3} - n\cdot4^n
−9S=4n−1−3n⋅4n-9S = 4^n - 1 - 3n\cdot4^n
9S=1−4n+3n⋅4n9S = 1 - 4^n + 3n\cdot4^n
S=1+(3n−1)4n9S = \frac{1 + (3n - 1)4^n}{9}
(2) について
S=1+23+332+⋯+n3n−1S = 1 + \frac{2}{3} + \frac{3}{3^2} + \dots + \frac{n}{3^{n-1}}
13S=13+232+333+⋯+n−13n−1+n3n\frac{1}{3}S = \frac{1}{3} + \frac{2}{3^2} + \frac{3}{3^3} + \dots + \frac{n-1}{3^{n-1}} + \frac{n}{3^n}
S−13S=(1+23+332+⋯+n3n−1)−(13+232+333+⋯+n−13n−1+n3n)S - \frac{1}{3}S = (1 + \frac{2}{3} + \frac{3}{3^2} + \dots + \frac{n}{3^{n-1}}) - (\frac{1}{3} + \frac{2}{3^2} + \frac{3}{3^3} + \dots + \frac{n-1}{3^{n-1}} + \frac{n}{3^n})
23S=1+13+132+⋯+13n−1−n3n\frac{2}{3}S = 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{3^2} + \dots + \frac{1}{3^{n-1}} - \frac{n}{3^n}
23S=1(1−(13)n)1−13−n3n\frac{2}{3}S = \frac{1(1 - (\frac{1}{3})^n)}{1 - \frac{1}{3}} - \frac{n}{3^n}
23S=1−13n23−n3n\frac{2}{3}S = \frac{1 - \frac{1}{3^n}}{\frac{2}{3}} - \frac{n}{3^n}
23S=32(1−13n)−n3n\frac{2}{3}S = \frac{3}{2}(1 - \frac{1}{3^n}) - \frac{n}{3^n}
23S=32−32⋅3n−n3n\frac{2}{3}S = \frac{3}{2} - \frac{3}{2\cdot3^n} - \frac{n}{3^n}
23S=32−3+2n2⋅3n\frac{2}{3}S = \frac{3}{2} - \frac{3 + 2n}{2\cdot3^n}
S=32⋅32−3(3+2n)4⋅3nS = \frac{3}{2}\cdot\frac{3}{2} - \frac{3(3 + 2n)}{4\cdot3^n}
S=94−3+2n2⋅3n−1⋅2=94−3+2n4⋅3n−1S = \frac{9}{4} - \frac{3 + 2n}{2\cdot3^{n-1}\cdot2} = \frac{9}{4} - \frac{3 + 2n}{4\cdot3^{n-1}}
S=9⋅3n−1−(3+2n)4⋅3n−1=9⋅3n−1−3−2n4⋅3n−1S = \frac{9\cdot3^{n-1} - (3 + 2n)}{4\cdot3^{n-1}} = \frac{9\cdot3^{n-1} - 3 - 2n}{4\cdot3^{n-1}}

3. 最終的な答え

(1) S=1+(3n−1)4n9S = \frac{1 + (3n - 1)4^n}{9}
(2) S=9⋅3n−1−3−2n4⋅3n−1S = \frac{9\cdot3^{n-1} - 3 - 2n}{4\cdot3^{n-1}}
または
S=3n+1−2n−34⋅3n−1S = \frac{3^{n+1} - 2n - 3}{4\cdot 3^{n-1}}

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