$\int (a^x + b^{2x}) dx$ を計算し、与えられた形式で答えを埋めなさい。

1. 問題の内容

$\int (a^x + b^{2x}) dx$ を計算し、与えられた形式で答えを埋めなさい。

2. 解き方の手順

まず、積分を分けて考えます。

$\int (a^x + b^{2x}) dx = \int a^x dx + \int b^{2x} dx$

$\int a^x dx$ について、指数関数の積分公式 $\int a^x dx = \frac{a^x}{\ln a} + C$ を適用します。

$\int b^{2x} dx$ について、$u = 2x$ と置換すると、$du = 2 dx$、つまり、$dx = \frac{1}{2} du$ となります。

したがって、

$\int b^{2x} dx = \int b^u \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int b^u du$

$\int b^u du = \frac{b^u}{\ln b} + C$

なので、

$\frac{1}{2} \int b^u du = \frac{1}{2} \frac{b^u}{\ln b} + C = \frac{b^{2x}}{2 \ln b} + C$

したがって、

$\int (a^x + b^{2x}) dx = \frac{a^x}{\ln a} + \frac{b^{2x}}{2 \ln b} + C$

3. 最終的な答え

ア: l

イ: n a

ウ: 2

エ: l

オ: n b

まとめると

$\frac{a^x}{\ln a} + \frac{b^{2x}}{2 \ln b} + C$

となります。