$\int \cos 2x dx = \frac{1}{2} \sin 2x + C$

## 問題1の内容

不定積分 $\int (\cos 2x + \tan 4x) dx$ を求め、以下の形式で答えよ。

$\frac{1}{\boxed{ア}} \sin \boxed{イ}x - \frac{1}{\boxed{ウ}} \log |\cos \boxed{エ}x| + C$

## 解き方の手順

1. $\cos 2x$ の積分を求める。

$\int \cos 2x dx = \frac{1}{2} \sin 2x + C$

2. $\tan 4x$ の積分を求める。

$\int \tan 4x dx = \int \frac{\sin 4x}{\cos 4x} dx$

$u = \cos 4x$ と置換すると、

$du = -4 \sin 4x dx$ より $\sin 4x dx = -\frac{1}{4} du$

$\int \frac{\sin 4x}{\cos 4x} dx = \int \frac{1}{u} (-\frac{1}{4}) du = -\frac{1}{4} \int \frac{1}{u} du = -\frac{1}{4} \log |u| + C = -\frac{1}{4} \log |\cos 4x| + C$

3. 積分をまとめる。

$\int (\cos 2x + \tan 4x) dx = \frac{1}{2} \sin 2x - \frac{1}{4} \log |\cos 4x| + C$

4. 与えられた形式と比較する。

$\frac{1}{\boxed{ア}} \sin \boxed{イ}x - \frac{1}{\boxed{ウ}} \log |\cos \boxed{エ}x| + C = \frac{1}{2} \sin 2x - \frac{1}{4} \log |\cos 4x| + C$

したがって、$\boxed{ア} = 2$, $\boxed{イ} = 2$, $\boxed{ウ} = 4$, $\boxed{エ} = 4$

## 最終的な答え

ア：2

イ：2

ウ：4

エ：4

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## 問題2の内容

不定積分 $\int (a^x + b^{2x}) dx$ を求め、以下の形式で答えよ。

$\frac{a^x}{\boxed{アイ}} + \frac{b^{2x}}{\boxed{ウエオ}} + C$

## 解き方の手順

1. $a^x$ の積分を求める。

$\int a^x dx = \frac{a^x}{\log a} + C$

2. $b^{2x}$ の積分を求める。

$\int b^{2x} dx = \int (b^2)^x dx = \frac{(b^2)^x}{\log (b^2)} + C = \frac{b^{2x}}{2 \log b} + C$

3. 積分をまとめる。

$\int (a^x + b^{2x}) dx = \frac{a^x}{\log a} + \frac{b^{2x}}{2 \log b} + C$

4. 与えられた形式と比較する。

$\frac{a^x}{\boxed{アイ}} + \frac{b^{2x}}{\boxed{ウエオ}} + C = \frac{a^x}{\log a} + \frac{b^{2x}}{2 \log b} + C$

したがって、$\boxed{アイ} = \log a$, $\boxed{ウエオ} = 2 \log b$

## 最終的な答え

ア：log

イ：a

ウ：2

エ：log

オ：b