1つ目の問題は、積分を含む微分に関する問題で、以下の式における（ア）と（イ）に当てはまる数値を求める問題です。 $\frac{d}{dx} \left( \int_{x}^{2x} \cos^2 t \, dt \right) = (\text{ア}) \cos^2 2x + (\text{イ}) \cos^2 x$ 2つ目の問題は、不定積分を計算する問題で、以下の不定積分を求める問題です。 $\int (2x^3 + 4x + 3) \, dx = \frac{1}{\text{ア}} x^\text{イ} + \text{ウ} x^\text{エ} + \text{オ} x + C$

1. 問題の内容

1つ目の問題は、積分を含む微分に関する問題で、以下の式における（ア）と（イ）に当てはまる数値を求める問題です。

$\frac{d}{dx} \left( \int_{x}^{2x} \cos^2 t \, dt \right) = (\text{ア}) \cos^2 2x + (\text{イ}) \cos^2 x$

2つ目の問題は、不定積分を計算する問題で、以下の不定積分を求める問題です。

$\int (2x^3 + 4x + 3) \, dx = \frac{1}{\text{ア}} x^\text{イ} + \text{ウ} x^\text{エ} + \text{オ} x + C$

2. 解き方の手順

* **1つ目の問題**

まず、積分を計算します。

$\int_{x}^{2x} \cos^2 t \, dt$

ここで、半角の公式 $\cos^2 t = \frac{1 + \cos 2t}{2}$ を用いると、

$\int_{x}^{2x} \frac{1 + \cos 2t}{2} \, dt = \left[ \frac{t}{2} + \frac{\sin 2t}{4} \right]_{x}^{2x} = \left( \frac{2x}{2} + \frac{\sin 4x}{4} \right) - \left( \frac{x}{2} + \frac{\sin 2x}{4} \right) = \frac{x}{2} + \frac{\sin 4x}{4} - \frac{\sin 2x}{4}$

次に、上記の式を $x$ で微分します。

$\frac{d}{dx} \left( \frac{x}{2} + \frac{\sin 4x}{4} - \frac{\sin 2x}{4} \right) = \frac{1}{2} + \frac{4\cos 4x}{4} - \frac{2\cos 2x}{4} = \frac{1}{2} + \cos 4x - \frac{1}{2} \cos 2x$

ここで、2倍角の公式 $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$ を用いると、$\cos 4x = 2\cos^2 2x - 1$ となるので、

$\frac{1}{2} + (2\cos^2 2x - 1) - \frac{1}{2} \cos 2x = 2\cos^2 2x - \frac{1}{2} \cos 2x - \frac{1}{2}$

さらに、$\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$ を代入すると、

$2\cos^2 2x - \frac{1}{2} (2\cos^2 x - 1) - \frac{1}{2} = 2\cos^2 2x - \cos^2 x + \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 2\cos^2 2x - \cos^2 x$

したがって、(ア) = 2、(イ) = -1となります。

* **2つ目の問題**

不定積分を計算します。

$\int (2x^3 + 4x + 3) \, dx = 2 \int x^3 dx + 4 \int x dx + 3 \int dx = 2 \cdot \frac{x^4}{4} + 4 \cdot \frac{x^2}{2} + 3x + C = \frac{1}{2} x^4 + 2x^2 + 3x + C$

したがって、ア = 2, イ = 4, ウ = 2, エ = 2, オ = 3となります。

3. 最終的な答え

* 1つ目の問題

* (ア) = 2

* (イ) = -1

* 2つ目の問題

* ア = 2

* イ = 4

* ウ = 2

* エ = 2

* オ = 3