## 1. 問題の内容

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1. 問題の内容

2つの不定積分を求める問題です。

1. $\int \frac{1}{\sqrt{x+1}}dx$ を求め、$\frac{ア}{イ}(x+ウ)^{エ} + C$ の形で表す。

2. $\int \frac{1}{(3x+2)^3}dx$ を求め、$-\frac{ア}{イ}(ウx+エ)^{オ}+C$ の形で表す。

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2. 解き方の手順

### 1つ目の積分

1. **置換積分:** $t = x+1$ とおくと、$dt = dx$ となります。

したがって、積分は $\int \frac{1}{\sqrt{t}} dt$ になります。

2. $\int \frac{1}{\sqrt{t}} dt = \int t^{-\frac{1}{2}} dt$ を計算します。

$\int t^{-\frac{1}{2}} dt = \frac{t^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} + C = 2\sqrt{t} + C$

3. $t = x+1$ を代入すると、$2\sqrt{x+1} + C$ となります。

よって，$\frac{2}{1}(x+1)^{\frac{1}{2}} + C$ となります。

### 2つ目の積分

1. **置換積分:** $t = 3x+2$ とおくと、$dt = 3dx$ より、$dx = \frac{1}{3}dt$ となります。

したがって、積分は $\int \frac{1}{t^3} \cdot \frac{1}{3} dt = \frac{1}{3} \int t^{-3} dt$ になります。

2. $\frac{1}{3} \int t^{-3} dt = \frac{1}{3} \cdot \frac{t^{-2}}{-2} + C = -\frac{1}{6}t^{-2} + C = -\frac{1}{6t^2} + C$

3. $t = 3x+2$ を代入すると、$-\frac{1}{6(3x+2)^2} + C$ となります。

よって，$-\frac{1}{6}(3x+2)^{-2} + C$ となります。

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3. 最終的な答え

### 1つ目の積分

* ア: 2

* イ: 1

* ウ: 1

* エ: 1/2

* オ: (不要)

### 2つ目の積分

* ア: 1

* イ: 6

* ウ: 3

* エ: 2

* オ: -2