次の不定積分を求め、空欄を埋める問題です。 $\int \frac{1}{\sqrt[3]{x+1}} dx = \frac{\boxed{ア}}{\boxed{イ}} (x + \boxed{ウ})^{\boxed{エ}/\boxed{オ}} + C$

1. 問題の内容

次の不定積分を求め、空欄を埋める問題です。

$\int \frac{1}{\sqrt[3]{x+1}} dx = \frac{\boxed{ア}}{\boxed{イ}} (x + \boxed{ウ})^{\boxed{エ}/\boxed{オ}} + C$

2. 解き方の手順

まず、積分を計算します。$u = x+1$ と置換すると、$du = dx$ となります。

$$\int \frac{1}{\sqrt[3]{x+1}} dx = \int \frac{1}{\sqrt[3]{u}} du = \int u^{-1/3} du$$

積分を計算します。

$$= \frac{u^{-1/3 + 1}}{-1/3 + 1} + C = \frac{u^{2/3}}{2/3} + C = \frac{3}{2} u^{2/3} + C$$

$u = x+1$ を代入すると、

$$= \frac{3}{2} (x+1)^{2/3} + C$$

与えられた式と比較すると、

$\frac{\boxed{ア}}{\boxed{イ}} = \frac{3}{2}$ なので、$\boxed{ア} = 3$ かつ $\boxed{イ} = 2$

$(x + \boxed{ウ})^{ \boxed{エ}/\boxed{オ}} = (x+1)^{2/3}$ なので、$\boxed{ウ} = 1$、 $\boxed{エ} = 2$、$\boxed{オ} = 3$

3. 最終的な答え

ア：3

イ：2

ウ：1

エ：2

オ：3

$\frac{3}{2}(x+1)^{\frac{2}{3}} + C$