与えられた関数に対して、偏微分や全微分を計算する問題です。具体的には、以下の4つの問題があります。 (1) $z = f(ax+by)$ ($a, b$は定数) のとき、$b\frac{\partial z}{\partial x} = a\frac{\partial z}{\partial y}$ を証明する。 (2) $u = e^{x^2 + y^2 + z^2}$, $z = x^2 \sin y$ のとき、$\frac{\partial u}{\partial x}$ と $\frac{\partial u}{\partial y}$ を $x, y$ で表す。 (3) $z = uv + \sin t$, $u = e^t$, $v = \cos t$ のとき、$\frac{dz}{dt}$ を $t$ で表す。 (4) 関数 $f(x, y) = x^2 + y^2 = 1$ で定まる陰関数の導関数 $\frac{dy}{dx}$ を求める。

1. 問題の内容

与えられた関数に対して、偏微分や全微分を計算する問題です。具体的には、以下の4つの問題があります。

(1) $z = f(ax+by)$ ($a, b$は定数) のとき、$b\frac{\partial z}{\partial x} = a\frac{\partial z}{\partial y}$ を証明する。

(2) $u = e^{x^2 + y^2 + z^2}$, $z = x^2 \sin y$ のとき、$\frac{\partial u}{\partial x}$ と $\frac{\partial u}{\partial y}$ を $x, y$ で表す。

(3) $z = uv + \sin t$, $u = e^t$, $v = \cos t$ のとき、$\frac{dz}{dt}$ を $t$ で表す。

(4) 関数 $f(x, y) = x^2 + y^2 = 1$ で定まる陰関数の導関数 $\frac{dy}{dx}$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) $z = f(ax+by)$ に対して、合成関数の微分を用いる。

$u = ax + by$ とおくと、$z = f(u)$ なので、

$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{df}{du} \frac{\partial u}{\partial x} = f'(u) \cdot a$

$\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{df}{du} \frac{\partial u}{\partial y} = f'(u) \cdot b$

したがって、

$b\frac{\partial z}{\partial x} = b f'(u) a = ab f'(u)$

$a\frac{\partial z}{\partial y} = a f'(u) b = ab f'(u)$

よって、$b\frac{\partial z}{\partial x} = a\frac{\partial z}{\partial y}$ が成り立つ。

(2) $u = e^{x^2 + y^2 + z^2}$, $z = x^2 \sin y$ に対して、合成関数の微分を用いる。

$\frac{\partial u}{\partial x} = e^{x^2 + y^2 + z^2} \cdot (2x + 2z \frac{\partial z}{\partial x})$

$\frac{\partial u}{\partial y} = e^{x^2 + y^2 + z^2} \cdot (2y + 2z \frac{\partial z}{\partial y})$

$\frac{\partial z}{\partial x} = 2x \sin y$

$\frac{\partial z}{\partial y} = x^2 \cos y$

したがって、

$\frac{\partial u}{\partial x} = e^{x^2 + y^2 + (x^2 \sin y)^2} \cdot (2x + 2x^2 \sin y \cdot 2x \sin y) = 2e^{x^2 + y^2 + x^4 \sin^2 y} (x + 2x^3 \sin^2 y)$

$\frac{\partial u}{\partial y} = e^{x^2 + y^2 + (x^2 \sin y)^2} \cdot (2y + 2x^2 \sin y \cdot x^2 \cos y) = 2e^{x^2 + y^2 + x^4 \sin^2 y} (y + x^4 \sin y \cos y)$

(3) $z = uv + \sin t$, $u = e^t$, $v = \cos t$ に対して、積の微分と合成関数の微分を用いる。

$\frac{dz}{dt} = \frac{du}{dt}v + u\frac{dv}{dt} + \frac{d(\sin t)}{dt}$

$\frac{du}{dt} = e^t$

$\frac{dv}{dt} = -\sin t$

したがって、

$\frac{dz}{dt} = e^t \cos t + e^t (-\sin t) + \cos t = e^t(\cos t - \sin t) + \cos t$

(4) $f(x, y) = x^2 + y^2 = 1$ に対して、陰関数の微分法を用いる。

両辺を $x$ で微分すると、

$2x + 2y \frac{dy}{dx} = 0$

$\frac{dy}{dx} = -\frac{2x}{2y} = -\frac{x}{y}$

3. 最終的な答え

(1) $b\frac{\partial z}{\partial x} = a\frac{\partial z}{\partial y}$ (証明完了)

(2) $\frac{\partial u}{\partial x} = 2e^{x^2 + y^2 + x^4 \sin^2 y} (x + 2x^3 \sin^2 y)$

$\frac{\partial u}{\partial y} = 2e^{x^2 + y^2 + x^4 \sin^2 y} (y + x^4 \sin y \cos y)$

(3) $\frac{dz}{dt} = e^t(\cos t - \sin t) + \cos t$

(4) $\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$