関数 $f(x) = \pi - |x|$ ($-\pi \leq x \leq \pi$) をフーリエ級数展開せよ。ただし、$f(x)$ は周期 $2\pi$ の周期関数である。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \pi - |x|$ ($-\pi \leq x \leq \pi$) をフーリエ級数展開せよ。ただし、$f(x)$ は周期 $2\pi$ の周期関数である。

2. 解き方の手順

フーリエ級数展開は以下の式で与えられます。

$f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} (a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx))$

ここで、$a_0$, $a_n$, $b_n$ はフーリエ係数であり、以下の式で計算されます。

$a_0 = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) dx$

$a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos(nx) dx$

$b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin(nx) dx$

まず、$a_0$ を計算します。

$a_0 = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} (\pi - |x|) dx = \frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} (\pi - x) dx = \frac{2}{\pi} [\pi x - \frac{x^2}{2}]_{0}^{\pi} = \frac{2}{\pi} (\pi^2 - \frac{\pi^2}{2}) = \frac{2}{\pi} \frac{\pi^2}{2} = \pi$

次に、$a_n$ を計算します。

$a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} (\pi - |x|) \cos(nx) dx = \frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} (\pi - x) \cos(nx) dx = \frac{2}{\pi} [\frac{(\pi - x)\sin(nx)}{n} - \frac{\cos(nx)}{n^2}]_{0}^{\pi} = \frac{2}{\pi} (0 - \frac{\cos(n\pi)}{n^2} + \frac{1}{n^2}) = \frac{2}{\pi n^2} (1 - (-1)^n)$

$n$ が偶数のとき、$a_n = 0$

$n$ が奇数のとき、$a_n = \frac{4}{\pi n^2}$

次に、$b_n$ を計算します。

$b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} (\pi - |x|) \sin(nx) dx$

$(\pi - |x|)$ は偶関数、$\sin(nx)$ は奇関数なので、$(\pi - |x|)\sin(nx)$ は奇関数です。奇関数の積分は積分区間が原点対称なら 0 となるので、$b_n = 0$

よって、フーリエ級数展開は

$f(x) = \frac{\pi}{2} + \sum_{n=1,3,5,...}^{\infty} \frac{4}{\pi n^2} \cos(nx) = \frac{\pi}{2} + \frac{4}{\pi} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{\cos((2k+1)x)}{(2k+1)^2}$

3. 最終的な答え

$f(x) = \frac{\pi}{2} + \frac{4}{\pi} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{\cos((2k+1)x)}{(2k+1)^2}$