関数 $f(x) = \frac{1}{x^2 - 2x + 3}$ の不定積分 $\int f(x) dx$ を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \frac{1}{x^2 - 2x + 3}$ の不定積分 $\int f(x) dx$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$x^2 - 2x + 3$ を平方完成します。

$x^2 - 2x + 3 = (x - 1)^2 + 2$

したがって、

$f(x) = \frac{1}{(x - 1)^2 + 2}$

次に、積分を計算します。

$u = x - 1$ と置換すると、$du = dx$ なので、

$\int f(x) dx = \int \frac{1}{u^2 + 2} du$

ここで、$u = \sqrt{2} \tan \theta$ と置換すると、$du = \sqrt{2} \sec^2 \theta d\theta$ なので、

$\int \frac{1}{u^2 + 2} du = \int \frac{1}{2 \tan^2 \theta + 2} \sqrt{2} \sec^2 \theta d\theta = \int \frac{\sqrt{2} \sec^2 \theta}{2 (\tan^2 \theta + 1)} d\theta$

$\tan^2 \theta + 1 = \sec^2 \theta$ より、

$\int \frac{\sqrt{2} \sec^2 \theta}{2 \sec^2 \theta} d\theta = \int \frac{\sqrt{2}}{2} d\theta = \frac{\sqrt{2}}{2} \theta + C$

ここで、$\theta = \arctan \frac{u}{\sqrt{2}}$ なので、

$\frac{\sqrt{2}}{2} \theta + C = \frac{\sqrt{2}}{2} \arctan \frac{u}{\sqrt{2}} + C = \frac{\sqrt{2}}{2} \arctan \frac{x - 1}{\sqrt{2}} + C$

3. 最終的な答え

$\int \frac{1}{x^2 - 2x + 3} dx = \frac{\sqrt{2}}{2} \arctan \frac{x - 1}{\sqrt{2}} + C$