以下の3つの関数の導関数を求めます。 (1) $\frac{\ln|x|}{x}$ (2) $\tan x$ (3) $\frac{e^x}{x}$

はい、承知いたしました。画像にある3つの微分問題を解きます。

1. 問題の内容

以下の3つの関数の導関数を求めます。

(1) $\frac{\ln|x|}{x}$

(2) $\tan x$

(3) $\frac{e^x}{x}$

2. 解き方の手順

(1) $\frac{\ln|x|}{x}$ の導関数を求める。

商の微分公式 $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ を用います。

$u = \ln|x|$, $v = x$ とすると、 $u' = \frac{1}{x}$, $v' = 1$ です。

したがって、

$(\frac{\ln|x|}{x})' = \frac{\frac{1}{x} \cdot x - \ln|x| \cdot 1}{x^2} = \frac{1 - \ln|x|}{x^2}$

(2) $\tan x$ の導関数を求める。

$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ なので、商の微分公式を適用します。

$u = \sin x$, $v = \cos x$ とすると、$u' = \cos x$, $v' = -\sin x$ です。

$(\tan x)' = (\frac{\sin x}{\cos x})' = \frac{\cos x \cdot \cos x - \sin x \cdot (-\sin x)}{\cos^2 x} = \frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x} = \frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x$

(3) $\frac{e^x}{x}$ の導関数を求める。

商の微分公式 $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ を用います。

$u = e^x$, $v = x$ とすると、$u' = e^x$, $v' = 1$ です。

$(\frac{e^x}{x})' = \frac{e^x \cdot x - e^x \cdot 1}{x^2} = \frac{e^x(x-1)}{x^2}$

3. 最終的な答え

(1) $(\frac{\ln|x|}{x})' = \frac{1 - \ln|x|}{x^2}$

(2) $(\tan x)' = \sec^2 x$

(3) $(\frac{e^x}{x})' = \frac{e^x(x-1)}{x^2}$