3つの関数の微分を求める問題です。 (1) $(\frac{\cos x}{\sin x})'$ (2) $(\sqrt{\frac{x+1}{x-1}})'$ (3) $(\frac{x}{\sqrt{x^2+1}})'$

1. 問題の内容

3つの関数の微分を求める問題です。

(1) $(\frac{\cos x}{\sin x})'$

(2) $(\sqrt{\frac{x+1}{x-1}})'$

(3) $(\frac{x}{\sqrt{x^2+1}})'$

2. 解き方の手順

(1) 商の微分公式 $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ を利用します。

$u = \cos x$ なので $u' = -\sin x$

$v = \sin x$ なので $v' = \cos x$

よって、

$(\frac{\cos x}{\sin x})' = \frac{-\sin x \cdot \sin x - \cos x \cdot \cos x}{\sin^2 x} = \frac{-(\sin^2 x + \cos^2 x)}{\sin^2 x} = \frac{-1}{\sin^2 x} = -\csc^2 x$

(2) 合成関数の微分を利用します。$\frac{x+1}{x-1} = u$ とおくと、$\sqrt{u}$ の微分は $\frac{1}{2\sqrt{u}}$ です。次に、$u = \frac{x+1}{x-1}$ の微分を計算します。商の微分公式を利用します。

$u = \frac{x+1}{x-1}$ なので $u' = \frac{1 \cdot (x-1) - (x+1) \cdot 1}{(x-1)^2} = \frac{x-1-x-1}{(x-1)^2} = \frac{-2}{(x-1)^2}$

したがって、$(\sqrt{\frac{x+1}{x-1}})' = \frac{1}{2\sqrt{\frac{x+1}{x-1}}} \cdot \frac{-2}{(x-1)^2} = \frac{-1}{\sqrt{\frac{x+1}{x-1}} \cdot (x-1)^2} = \frac{-1}{\sqrt{x+1} \cdot (x-1)^{\frac{3}{2}}}$

(3) 商の微分公式 $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ を利用します。

$u = x$ なので $u' = 1$

$v = \sqrt{x^2+1}$ なので $v' = \frac{2x}{2\sqrt{x^2+1}} = \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$

よって、

$(\frac{x}{\sqrt{x^2+1}})' = \frac{1 \cdot \sqrt{x^2+1} - x \cdot \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}}{(\sqrt{x^2+1})^2} = \frac{\frac{x^2+1 - x^2}{\sqrt{x^2+1}}}{x^2+1} = \frac{1}{(x^2+1)\sqrt{x^2+1}} = \frac{1}{(x^2+1)^{\frac{3}{2}}}$

3. 最終的な答え

(1) $-\csc^2 x$

(2) $\frac{-1}{\sqrt{x+1}(x-1)^{\frac{3}{2}}}$

(3) $\frac{1}{(x^2+1)^{\frac{3}{2}}}$