関数 $f(x) = \sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}}$ の導関数を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}}$ の導関数を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$を指数を用いて書き換えます。

$f(x) = \sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}} = x^{\frac{1}{2}} - x^{-\frac{1}{2}}$

次に、導関数の公式 $\frac{d}{dx} x^n = nx^{n-1}$ を用いて、$f(x)$ の導関数を求めます。

$\frac{d}{dx} x^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1} = \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}$

$\frac{d}{dx} x^{-\frac{1}{2}} = -\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}-1} = -\frac{1}{2}x^{-\frac{3}{2}}$

したがって、

$f'(x) = \frac{d}{dx} (x^{\frac{1}{2}} - x^{-\frac{1}{2}}) = \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} - (-\frac{1}{2}x^{-\frac{3}{2}}) = \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} + \frac{1}{2}x^{-\frac{3}{2}}$

$f'(x) = \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} + \frac{1}{2}x^{-\frac{3}{2}} = \frac{1}{2\sqrt{x}} + \frac{1}{2x\sqrt{x}} = \frac{1}{2\sqrt{x}}(1 + \frac{1}{x}) = \frac{1}{2\sqrt{x}}(\frac{x+1}{x}) = \frac{x+1}{2x\sqrt{x}}$

$f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} + \frac{1}{2x\sqrt{x}} = \frac{x+1}{2x\sqrt{x}}$

$x\sqrt{x} = x^{3/2}$なので、

$f'(x) = \frac{1}{2}x^{-1/2} + \frac{1}{2}x^{-3/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}} + \frac{1}{2x\sqrt{x}} = \frac{x+1}{2x\sqrt{x}} = \frac{x+1}{2x^{3/2}}$

3. 最終的な答え

$\frac{x+1}{2x\sqrt{x}}$

または

$\frac{x+1}{2x^{3/2}}$