関数 $f(x) = e^x$ の導関数を定義に従って求め、$f'(x) = e^x$ であることを証明する問題です。穴埋め形式で、ア、イ、ウ、エに当てはまるものを答えます。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = e^x$ の導関数を定義に従って求め、$f'(x) = e^x$ であることを証明する問題です。穴埋め形式で、ア、イ、ウ、エに当てはまるものを答えます。

2. 解き方の手順

導関数の定義から始めます。

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$

$f(x) = e^x$ であるので、$f(x+h) = e^{x+h}$ です。これを代入すると、

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{e^{x+h} - e^x}{h}$

したがって、アには $e^{x+h}$ が入ります。

次に、指数法則 $e^{x+h} = e^x e^h$ を用いて変形します。

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{e^x e^h - e^x}{h}$

したがって、イには $e^x e^h$ が入ります。

$e^x$ でくくると、

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{e^x(e^h - 1)}{h}$

したがって、ウには $e^h - 1$ が入ります。

$e^x$ は $h$ に依存しないので、極限の外に出すことができます。

$f'(x) = e^x \lim_{h \to 0} \frac{e^h - 1}{h}$

ここで、$\lim_{h \to 0} \frac{e^h - 1}{h} = 1$ であることが知られています。

したがって、エには $1$ が入ります。

よって、$f'(x) = e^x \cdot 1 = e^x$ となり、$f'(x) = e^x$ が証明されました。

3. 最終的な答え

ア：$e^{x+h}$

イ：$e^x e^h$

ウ：$e^h - 1$

エ：$1$