次の3つの関数の微分を計算します。 (1) $(\frac{\cos x}{\sin x})'$ (2) $(\sqrt{\frac{x+1}{x-1}})'$ (3) $(\frac{x}{\sqrt{x^2+1}})'$

はい、承知いたしました。画像にある3つの微分問題を解きます。

1. 問題の内容

次の3つの関数の微分を計算します。

(1) $(\frac{\cos x}{\sin x})'$

(2) $(\sqrt{\frac{x+1}{x-1}})'$

(3) $(\frac{x}{\sqrt{x^2+1}})'$

2. 解き方の手順

(1) $(\frac{\cos x}{\sin x})'$ について

$\frac{\cos x}{\sin x} = \cot x$ なので、$\cot x$ の微分を計算します。

$\cot x = \frac{\cos x}{\sin x}$ の商の微分公式を使うこともできます。

$\cot'x = (\frac{\cos x}{\sin x})' = \frac{(\cos x)' \sin x - \cos x (\sin x)'}{\sin^2 x} = \frac{-\sin x \sin x - \cos x \cos x}{\sin^2 x} = \frac{-(\sin^2 x + \cos^2 x)}{\sin^2 x} = -\frac{1}{\sin^2 x} = -\csc^2 x$

(2) $(\sqrt{\frac{x+1}{x-1}})'$ について

$\sqrt{\frac{x+1}{x-1}}$ の微分を計算します。合成関数の微分を使う必要があります。

$y = \sqrt{u}$, $u = \frac{x+1}{x-1}$ とおくと、$y' = \frac{dy}{du} \frac{du}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{u}} (\frac{x+1}{x-1})'$ となります。

まず $(\frac{x+1}{x-1})'$ を計算します。商の微分公式を用いると、

$(\frac{x+1}{x-1})' = \frac{(x+1)'(x-1) - (x+1)(x-1)'}{(x-1)^2} = \frac{1(x-1) - (x+1)1}{(x-1)^2} = \frac{x-1-x-1}{(x-1)^2} = \frac{-2}{(x-1)^2}$

したがって、

$(\sqrt{\frac{x+1}{x-1}})' = \frac{1}{2\sqrt{\frac{x+1}{x-1}}} \cdot \frac{-2}{(x-1)^2} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{x-1}{x+1}} \cdot \frac{-2}{(x-1)^2} = -\sqrt{\frac{x-1}{x+1}} \cdot \frac{1}{(x-1)^2} = -\frac{\sqrt{x-1}}{\sqrt{x+1}} \frac{1}{(x-1)^2} = -\frac{1}{\sqrt{x+1}(x-1)^{\frac{3}{2}}}$

(3) $(\frac{x}{\sqrt{x^2+1}})'$ について

$\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$ の微分を計算します。商の微分公式を使います。

$(\frac{x}{\sqrt{x^2+1}})' = \frac{x'\sqrt{x^2+1} - x (\sqrt{x^2+1})'}{(\sqrt{x^2+1})^2} = \frac{\sqrt{x^2+1} - x \frac{2x}{2\sqrt{x^2+1}}}{x^2+1} = \frac{\sqrt{x^2+1} - \frac{x^2}{\sqrt{x^2+1}}}{x^2+1} = \frac{\frac{x^2+1-x^2}{\sqrt{x^2+1}}}{x^2+1} = \frac{1}{\sqrt{x^2+1}(x^2+1)} = \frac{1}{(x^2+1)^{\frac{3}{2}}}$

3. 最終的な答え

(1) $(\frac{\cos x}{\sin x})' = -\csc^2 x = -\frac{1}{\sin^2 x}$

(2) $(\sqrt{\frac{x+1}{x-1}})' = -\frac{1}{\sqrt{x+1}(x-1)^{\frac{3}{2}}}$

(3) $(\frac{x}{\sqrt{x^2+1}})' = \frac{1}{(x^2+1)^{\frac{3}{2}}}$