関数 $y = \frac{1}{\log(x^2 + 1)}$ の導関数 $y'$ を求めます。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{1}{\log(x^2 + 1)}$ の導関数 $y'$ を求めます。

2. 解き方の手順

まず、$y = \frac{1}{\log(x^2 + 1)}$を$y = (\log(x^2 + 1))^{-1}$と書き換えます。

次に、合成関数の微分（チェーンルール）を適用します。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

ここで、 $u = \log(x^2 + 1)$ とすると、 $y = u^{-1}$です。

$\frac{dy}{du} = -u^{-2} = -\frac{1}{u^2} = -\frac{1}{(\log(x^2 + 1))^2}$

$\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx} \log(x^2 + 1)$ を求める必要があります。

ここで、$v = x^2 + 1$ とすると、$u = \log(v)$です。

$\frac{du}{dv} = \frac{1}{v} = \frac{1}{x^2 + 1}$

$\frac{dv}{dx} = 2x$

よって、$\frac{du}{dx} = \frac{du}{dv} \cdot \frac{dv}{dx} = \frac{1}{x^2 + 1} \cdot 2x = \frac{2x}{x^2 + 1}$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = -\frac{1}{(\log(x^2 + 1))^2} \cdot \frac{2x}{x^2 + 1}$

$y' = -\frac{2x}{(x^2 + 1)(\log(x^2 + 1))^2}$

3. 最終的な答え

$y' = -\frac{2x}{(x^2 + 1)(\log(x^2 + 1))^2}$