曲線 $y = -x^3 + 5x$ 上の $x=1$ に対応する点における接線の方程式を求める。

## 問題84(1)

1. 問題の内容

曲線 $y = -x^3 + 5x$ 上の $x=1$ に対応する点における接線の方程式を求める。

2. 解き方の手順

まず、$x=1$ のときの $y$ の値を求める。

$y = -(1)^3 + 5(1) = -1 + 5 = 4$

したがって、接点の座標は $(1, 4)$ である。

次に、導関数を求める。

$y' = \frac{dy}{dx} = -3x^2 + 5$

$x=1$ における導関数の値を求める。

$y'(1) = -3(1)^2 + 5 = -3 + 5 = 2$

これは接線の傾きである。

接点の座標 $(1, 4)$ を通り、傾き $2$ の直線の方程式を求める。

$y - 4 = 2(x - 1)$

$y - 4 = 2x - 2$

$y = 2x + 2$

3. 最終的な答え

$y = 2x + 2$

## 問題84(2)

1. 問題の内容

曲線 $y = \frac{\sin x}{x}$ 上の $x=\pi$ に対応する点における接線の方程式を求める。

2. 解き方の手順

まず、$x=\pi$ のときの $y$ の値を求める。

$y = \frac{\sin \pi}{\pi} = \frac{0}{\pi} = 0$

したがって、接点の座標は $(\pi, 0)$ である。

次に、導関数を求める。商の微分法を用いる。

$y' = \frac{dy}{dx} = \frac{x \cos x - \sin x}{x^2}$

$x=\pi$ における導関数の値を求める。

$y'(\pi) = \frac{\pi \cos \pi - \sin \pi}{\pi^2} = \frac{\pi(-1) - 0}{\pi^2} = \frac{-\pi}{\pi^2} = -\frac{1}{\pi}$

これは接線の傾きである。

接点の座標 $(\pi, 0)$ を通り、傾き $-\frac{1}{\pi}$ の直線の方程式を求める。

$y - 0 = -\frac{1}{\pi}(x - \pi)$

$y = -\frac{1}{\pi}x + 1$

3. 最終的な答え

$y = -\frac{1}{\pi}x + 1$

## 問題85(1)

1. 問題の内容

曲線 $y = x^3 - 2x$ 上の $x=2$ に対応する点における法線の方程式を求める。

2. 解き方の手順

まず、$x=2$ のときの $y$ の値を求める。

$y = (2)^3 - 2(2) = 8 - 4 = 4$

したがって、接点の座標は $(2, 4)$ である。

次に、導関数を求める。

$y' = \frac{dy}{dx} = 3x^2 - 2$

$x=2$ における導関数の値を求める。

$y'(2) = 3(2)^2 - 2 = 3(4) - 2 = 12 - 2 = 10$

これは接線の傾きである。

法線の傾きは、接線の傾きの逆数の符号を反転させたものである。したがって、法線の傾きは $-\frac{1}{10}$ である。

接点の座標 $(2, 4)$ を通り、傾き $-\frac{1}{10}$ の直線の方程式を求める。

$y - 4 = -\frac{1}{10}(x - 2)$

$y - 4 = -\frac{1}{10}x + \frac{1}{5}$

$y = -\frac{1}{10}x + \frac{1}{5} + 4$

$y = -\frac{1}{10}x + \frac{1}{5} + \frac{20}{5}$

$y = -\frac{1}{10}x + \frac{21}{5}$

3. 最終的な答え

$y = -\frac{1}{10}x + \frac{21}{5}$

## 問題85(2)

1. 問題の内容

曲線 $y = x \log x$ 上の $x=e$ に対応する点における法線の方程式を求める。ここで $\log x$ は自然対数とする。

2. 解き方の手順

まず、$x=e$ のときの $y$ の値を求める。

$y = e \log e = e(1) = e$

したがって、接点の座標は $(e, e)$ である。

次に、導関数を求める。積の微分法を用いる。

$y' = \frac{dy}{dx} = \log x + x \cdot \frac{1}{x} = \log x + 1$

$x=e$ における導関数の値を求める。

$y'(e) = \log e + 1 = 1 + 1 = 2$

これは接線の傾きである。

法線の傾きは、接線の傾きの逆数の符号を反転させたものである。したがって、法線の傾きは $-\frac{1}{2}$ である。

接点の座標 $(e, e)$ を通り、傾き $-\frac{1}{2}$ の直線の方程式を求める。

$y - e = -\frac{1}{2}(x - e)$

$y - e = -\frac{1}{2}x + \frac{1}{2}e$

$y = -\frac{1}{2}x + \frac{1}{2}e + e$

$y = -\frac{1}{2}x + \frac{3}{2}e$

3. 最終的な答え

$y = -\frac{1}{2}x + \frac{3}{2}e$