次の2つの関数を微分する問題です。 (1) $y = \log \frac{(x+2)^3}{(2x+1)^2}$ (2) $y = \log \frac{x\sqrt{2x+1}}{(2x-1)^2}$

1. 問題の内容

次の2つの関数を微分する問題です。

(1) $y = \log \frac{(x+2)^3}{(2x+1)^2}$

(2) $y = \log \frac{x\sqrt{2x+1}}{(2x-1)^2}$

2. 解き方の手順

(1) 対数の性質を用いて式を簡単にしてから微分します。

$\log \frac{A}{B} = \log A - \log B$、$\log A^n = n \log A$ を利用します。

$y = \log (x+2)^3 - \log (2x+1)^2 = 3 \log (x+2) - 2 \log (2x+1)$

微分すると

$\frac{dy}{dx} = 3 \cdot \frac{1}{x+2} - 2 \cdot \frac{2}{2x+1} = \frac{3}{x+2} - \frac{4}{2x+1}$

$= \frac{3(2x+1) - 4(x+2)}{(x+2)(2x+1)} = \frac{6x+3 - 4x - 8}{(x+2)(2x+1)} = \frac{2x-5}{(x+2)(2x+1)}$

(2) 対数の性質を用いて式を簡単にしてから微分します。

$y = \log(x \sqrt{2x+1}) - \log(2x-1)^2 = \log x + \log (2x+1)^{1/2} - 2\log(2x-1) = \log x + \frac{1}{2} \log (2x+1) - 2 \log(2x-1)$

微分すると

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x} + \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2x+1} - 2 \cdot \frac{2}{2x-1} = \frac{1}{x} + \frac{1}{2x+1} - \frac{4}{2x-1}$

$= \frac{(2x+1)(2x-1) + x(2x-1) - 4x(2x+1)}{x(2x+1)(2x-1)} = \frac{4x^2 - 1 + 2x^2 - x - 8x^2 - 4x}{x(2x+1)(2x-1)}$

$= \frac{-2x^2 - 5x - 1}{x(2x+1)(2x-1)} = - \frac{2x^2 + 5x + 1}{x(2x+1)(2x-1)} = -\frac{2x^2 + 5x + 1}{x(4x^2-1)}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{dy}{dx} = \frac{2x-5}{(x+2)(2x+1)}$

(2) $\frac{dy}{dx} = -\frac{2x^2+5x+1}{x(4x^2-1)}$