与えられた関数 $f(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}$ の導関数 $f'(x)$ を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた関数 $f(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}$ の導関数 $f'(x)$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

商の微分公式を使います。商の微分公式は次の通りです。

$(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$

ここで、$u = x$、$v = \sqrt{x^2 + 1}$ とします。

まず、$u'$ と $v'$ を計算します。

$u' = \frac{d}{dx} x = 1$

次に、$v'$ を計算します。

$v = \sqrt{x^2 + 1} = (x^2 + 1)^{\frac{1}{2}}$

鎖の法則を使うと、

$v' = \frac{1}{2}(x^2 + 1)^{-\frac{1}{2}} \cdot (2x) = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}$

$u'$、$v'$、$u$、$v$ を商の微分公式に代入します。

$(\frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}})' = \frac{1 \cdot \sqrt{x^2 + 1} - x \cdot \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}}{(\sqrt{x^2 + 1})^2}$

$= \frac{\sqrt{x^2 + 1} - \frac{x^2}{\sqrt{x^2 + 1}}}{x^2 + 1}$

$= \frac{\frac{x^2 + 1 - x^2}{\sqrt{x^2 + 1}}}{x^2 + 1}$

$= \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}(x^2 + 1)}$

$= \frac{1}{(x^2 + 1)^{\frac{3}{2}}}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{(x^2 + 1)^{\frac{3}{2}}}$