問題3において、$f(x) = x^2 \sin(\frac{1}{x}) (x \neq 0), f(0) = 0, g(x) = x$が与えられています。 (1) $\lim_{x \to 0} \frac{f'(x)}{g'(x)}$を求めます。 (2) $\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{g(x)}$を求めます。

1. 問題の内容

問題3において、$f(x) = x^2 \sin(\frac{1}{x}) (x \neq 0), f(0) = 0, g(x) = x$が与えられています。

(1) $\lim_{x \to 0} \frac{f'(x)}{g'(x)}$を求めます。

(2) $\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{g(x)}$を求めます。

2. 解き方の手順

(1) まず、$f'(x)$を計算します。

$f(x) = x^2 \sin(\frac{1}{x})$なので、$f'(x) = 2x \sin(\frac{1}{x}) + x^2 \cos(\frac{1}{x}) (-\frac{1}{x^2}) = 2x \sin(\frac{1}{x}) - \cos(\frac{1}{x})$です。

また、$g(x) = x$なので、$g'(x) = 1$です。

したがって、$\lim_{x \to 0} \frac{f'(x)}{g'(x)} = \lim_{x \to 0} (2x \sin(\frac{1}{x}) - \cos(\frac{1}{x}))$となります。

ここで、$|2x \sin(\frac{1}{x})| \le 2|x|$であり、$x \to 0$のとき$2|x| \to 0$なので、$\lim_{x \to 0} 2x \sin(\frac{1}{x}) = 0$です。

しかし、$\lim_{x \to 0} \cos(\frac{1}{x})$は振動して存在しません。したがって、$\lim_{x \to 0} \frac{f'(x)}{g'(x)}$は存在しません。

(2) $\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to 0} \frac{x^2 \sin(\frac{1}{x})}{x} = \lim_{x \to 0} x \sin(\frac{1}{x})$を計算します。

ここで、$|x \sin(\frac{1}{x})| \le |x|$であり、$x \to 0$のとき$|x| \to 0$なので、$\lim_{x \to 0} x \sin(\frac{1}{x}) = 0$です。

3. 最終的な答え

(1) 極限値は存在しない。

(2) 0