$e^\pi > 21$ を示す。ただし、$e \approx 2.72$ および $\pi \approx 3.14$ を用いることができる。

1. 問題の内容

$e^\pi > 21$ を示す。ただし、$e \approx 2.72$ および $\pi \approx 3.14$ を用いることができる。

2. 解き方の手順

まず、$e$ と $\pi$ の近似値を使って $e^\pi$ の近似値を計算する。

$e^\pi \approx (2.72)^{3.14}$

ここで、計算を簡単にするために、$2.72$ を $2.7$ に、 $3.14$ を $3.1$ と近似して計算する。

$(2.7)^{3.1} = (2.7)^3 \times (2.7)^{0.1}$

$(2.7)^3$ は、$2.7 \times 2.7 \times 2.7 = 7.29 \times 2.7 \approx 19.683$ となる。

次に、$2.7^{0.1}$ を評価する。 $2.7$ の $0.1$ 乗は、$2.7$ の $1/10$ 乗なので、10乗根である。しかし、$x^{0.1} \approx 1 + 0.1 \ln(x)$　という近似が使える。

この近似を使用すると、

$2.7^{0.1} \approx 1 + 0.1\ln(2.7) \approx 1 + 0.1 \times 1 = 1.1$

なぜならば$\ln(e) = \ln(2.72) \approx 1$ だからである。

よって、$e^\pi \approx 19.683 \times 1.1 \approx 21.65$

これは、21より大きい。

より正確な評価をするには、 $e \approx 2.718$　と　$\pi \approx 3.142$を使って計算機で$e^\pi$を計算すると、

$e^\pi \approx 23.1406926328...$

3. 最終的な答え

$e^\pi > 21$