$\int \frac{1}{(3x+2)^3}dx$ を計算し、与えられた形式 $-\frac{\boxed{ア}}{\boxed{イ}(\boxed{ウ}x+\boxed{エ})^{\boxed{オ}}} + C$ で答えよ。

1. 問題の内容

$\int \frac{1}{(3x+2)^3}dx$ を計算し、与えられた形式 $-\frac{\boxed{ア}}{\boxed{イ}(\boxed{ウ}x+\boxed{エ})^{\boxed{オ}}} + C$ で答えよ。

2. 解き方の手順

置換積分を用いて計算します。

$u = 3x+2$ と置くと、$du = 3dx$ となり、$dx = \frac{1}{3}du$ となります。

与えられた積分は、

$\int \frac{1}{u^3} \frac{1}{3} du = \frac{1}{3} \int u^{-3} du$

となります。

積分を実行すると、

$\frac{1}{3} \int u^{-3} du = \frac{1}{3} \cdot \frac{u^{-2}}{-2} + C = -\frac{1}{6u^2} + C$

$u = 3x+2$ を代入して、

$-\frac{1}{6(3x+2)^2} + C$

となります。

与えられた形式 $-\frac{\boxed{ア}}{\boxed{イ}(\boxed{ウ}x+\boxed{エ})^{\boxed{オ}}} + C$ と比較すると、$\boxed{ア} = 1$, $\boxed{イ} = 6$, $\boxed{ウ} = 3$, $\boxed{エ} = 2$, $\boxed{オ} = 2$ となります。

3. 最終的な答え

ア：1

イ：6

ウ：3

エ：2

オ：2