次の不定積分を求めます。 $\int (a^x + b^{2x}) dx$

1. 問題の内容

次の不定積分を求めます。

$\int (a^x + b^{2x}) dx$

2. 解き方の手順

まず、積分を分解します。

$\int (a^x + b^{2x}) dx = \int a^x dx + \int b^{2x} dx$

次に、指数関数の積分公式 $\int a^x dx = \frac{a^x}{\ln a} + C$ を使います。

$\int a^x dx = \frac{a^x}{\ln a} + C_1$

$\int b^{2x} dx$ について、$u = 2x$ と置換すると、$du = 2dx$ となり、$dx = \frac{1}{2}du$ です。

$\int b^{2x} dx = \int b^u \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int b^u du = \frac{1}{2} \frac{b^u}{\ln b} + C_2 = \frac{b^{2x}}{2\ln b} + C_2$

したがって、

$\int (a^x + b^{2x}) dx = \frac{a^x}{\ln a} + \frac{b^{2x}}{2\ln b} + C$

ここで、$C = C_1 + C_2$ は積分定数です。

3. 最終的な答え

$\frac{a^x}{\ln a} + \frac{b^{2x}}{2\ln b} + C$