与えられた不定積分 $\int \frac{1}{4+x^2} dx$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた不定積分 $\int \frac{1}{4+x^2} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

不定積分 $\int \frac{1}{4+x^2} dx$ を計算するために、以下の手順で進めます。

まず、$x=2u$ と変数変換します。すると、$dx = 2 du$ となります。

この変数変換を積分に適用すると、

$\int \frac{1}{4+x^2} dx = \int \frac{1}{4+(2u)^2} (2 du) = \int \frac{2}{4+4u^2} du = \int \frac{2}{4(1+u^2)} du = \frac{1}{2} \int \frac{1}{1+u^2} du$

$\frac{1}{1+u^2}$ の積分は $\arctan(u)$ であることを利用すると、

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{1+u^2} du = \frac{1}{2} \arctan(u) + C$

ここで、$x=2u$ より、$u = \frac{x}{2}$ であるため、これを代入すると、

$\frac{1}{2} \arctan(\frac{x}{2}) + C$

3. 最終的な答え

$\int \frac{1}{4+x^2} dx = \frac{1}{2} \arctan(\frac{x}{2}) + C$