不定積分 $\int \frac{1}{(3x+2)^3} dx$ を求める。

1. 問題の内容

不定積分 $\int \frac{1}{(3x+2)^3} dx$ を求める。

2. 解き方の手順

この不定積分を求めるには、置換積分法を用いるのが適切です。

$u = 3x + 2$ と置換します。

すると、$du = 3 dx$ となり、$dx = \frac{1}{3} du$ となります。

与えられた積分は次のようになります。

$\int \frac{1}{(3x+2)^3} dx = \int \frac{1}{u^3} \cdot \frac{1}{3} du = \frac{1}{3} \int u^{-3} du$

次に、$u^{-3}$ の積分を計算します。

$\int u^{-3} du = \frac{u^{-2}}{-2} + C = -\frac{1}{2u^2} + C$

したがって、

$\frac{1}{3} \int u^{-3} du = \frac{1}{3} \left( -\frac{1}{2u^2} \right) + C = -\frac{1}{6u^2} + C$

最後に、$u$ を $3x+2$ に戻すと、

$-\frac{1}{6u^2} + C = -\frac{1}{6(3x+2)^2} + C$

3. 最終的な答え

$-\frac{1}{6(3x+2)^2} + C$