次の不定積分を求めよ： $\int xe^{x^2} dx$

1. 問題の内容

次の不定積分を求めよ：

$\int xe^{x^2} dx$

2. 解き方の手順

この積分は、置換積分を用いて解くことができます。

ステップ1：置換の設定

$u = x^2$ と置きます。

ステップ2：微分

$u$ を $x$ で微分すると、$\frac{du}{dx} = 2x$ となります。

したがって、$du = 2x \, dx$ となります。

$x \, dx$ について解くと、$x \, dx = \frac{1}{2} du$ となります。

ステップ3：積分変数の置換

元の積分 $\int xe^{x^2} dx$ を $u$ を用いて書き換えます。

$\int xe^{x^2} dx = \int e^{x^2} (x \, dx) = \int e^u (\frac{1}{2} du) = \frac{1}{2} \int e^u du$

ステップ4：積分を実行

$\frac{1}{2} \int e^u du = \frac{1}{2} e^u + C$

ここで、$C$ は積分定数です。

ステップ5：元の変数に戻す

$u = x^2$ でしたので、$u$ を $x^2$ に戻します。

$\frac{1}{2} e^u + C = \frac{1}{2} e^{x^2} + C$

3. 最終的な答え

$\int xe^{x^2} dx = \frac{1}{2} e^{x^2} + C$