関数 $y = \log_2 x$ の $1/4 < x \leq 2\sqrt{2}$ における値域を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $y = \log_2 x$ の $1/4 < x \leq 2\sqrt{2}$ における値域を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$x$ の範囲における対数関数 $y = \log_2 x$ の最小値と最大値を求めることを考えます。

対数関数は底が2であることから、単調増加関数であるため、$x$ が最小のとき $y$ も最小、 $x$ が最大のとき $y$ も最大となります。

$x$ の最小値は $1/4$ に限りなく近い値であり、最大値は $2\sqrt{2}$ です。

$x = 1/4$ のとき $y = \log_2 (1/4) = \log_2 (2^{-2}) = -2$ となります。ただし、$x > 1/4$ であるため、$y > -2$ となります。

$x = 2\sqrt{2} = 2 \cdot 2^{1/2} = 2^{3/2}$ のとき $y = \log_2 (2^{3/2}) = 3/2$ となります。

したがって、$-2 < y \leq 3/2$ が求める値域となります。

3. 最終的な答え

$-2 < y \leq \frac{3}{2}$