次の不定積分を求めます。 $\int (\cos 2x + \tan 4x) dx$

1. 問題の内容

次の不定積分を求めます。

$\int (\cos 2x + \tan 4x) dx$

2. 解き方の手順

与えられた積分を2つの積分に分割します。

$\int (\cos 2x + \tan 4x) dx = \int \cos 2x dx + \int \tan 4x dx$

$\int \cos 2x dx$ を計算します。

$u = 2x$ とすると、$du = 2 dx$ となり、$dx = \frac{1}{2} du$ です。

$\int \cos 2x dx = \int \cos u \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int \cos u du = \frac{1}{2} \sin u + C_1 = \frac{1}{2} \sin 2x + C_1$

$\int \tan 4x dx$ を計算します。

$\int \tan 4x dx = \int \frac{\sin 4x}{\cos 4x} dx$

$v = \cos 4x$ とすると、$dv = -4 \sin 4x dx$ となり、$dx = -\frac{1}{4 \sin 4x} dv$ です。

$\int \frac{\sin 4x}{\cos 4x} dx = \int \frac{\sin 4x}{v} (-\frac{1}{4 \sin 4x}) dv = -\frac{1}{4} \int \frac{1}{v} dv = -\frac{1}{4} \ln |v| + C_2 = -\frac{1}{4} \ln |\cos 4x| + C_2$

したがって、元の積分は次のようになります。

$\int (\cos 2x + \tan 4x) dx = \frac{1}{2} \sin 2x - \frac{1}{4} \ln |\cos 4x| + C$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{2} \sin 2x - \frac{1}{4} \ln |\cos 4x| + C$