次の不定積分を求めます。 $$\int \frac{1}{\sqrt[3]{x}+1} dx$$

1. 問題の内容

次の不定積分を求めます。

$$\int \frac{1}{\sqrt[3]{x}+1} dx$$

2. 解き方の手順

まず、置換積分を行います。

$u = \sqrt[3]{x}$ と置くと、$x = u^3$ となります。

$dx = 3u^2 du$ となります。

したがって、積分は次のようになります。

$$\int \frac{1}{u+1} 3u^2 du = 3 \int \frac{u^2}{u+1} du$$

次に、被積分関数 $\frac{u^2}{u+1}$ を変形します。

$\frac{u^2}{u+1} = \frac{u^2-1+1}{u+1} = \frac{(u+1)(u-1)+1}{u+1} = u-1 + \frac{1}{u+1}$

したがって、積分は次のようになります。

$$3 \int (u-1 + \frac{1}{u+1}) du = 3 \left( \int u du - \int 1 du + \int \frac{1}{u+1} du \right)$$

$$= 3 \left( \frac{u^2}{2} - u + \ln|u+1| \right) + C$$

$$= \frac{3}{2}u^2 - 3u + 3\ln|u+1| + C$$

最後に、$u = \sqrt[3]{x}$ を代入します。

$$\frac{3}{2} (\sqrt[3]{x})^2 - 3\sqrt[3]{x} + 3\ln|\sqrt[3]{x}+1| + C$$

$$= \frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} - 3x^{\frac{1}{3}} + 3\ln(x^{\frac{1}{3}}+1) + C$$

3. 最終的な答え

$$\frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} - 3x^{\frac{1}{3}} + 3\ln(x^{\frac{1}{3}}+1) + C$$