関数 $y = \log_{\frac{1}{2}}x$ の、$\frac{1}{4} \leq x < 8$ における値域を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = \log_{\frac{1}{2}}x$ の、$\frac{1}{4} \leq x < 8$ における値域を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、対数関数の性質を理解することが重要です。底が $\frac{1}{2}$ であるため、この対数関数は減少関数です。つまり、$x$ が増加すると $y$ は減少します。

$x$ の範囲が $\frac{1}{4} \leq x < 8$ であることを利用して、$y$ の範囲を求めます。

$x = \frac{1}{4}$ のとき:

$y = \log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{4}$

$\frac{1}{4} = (\frac{1}{2})^2$ なので、

$y = \log_{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2})^2 = 2$

$x = 8$ のとき:

$y = \log_{\frac{1}{2}} 8$

$8 = 2^3 = (\frac{1}{2})^{-3}$ なので、

$y = \log_{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2})^{-3} = -3$

したがって、$x$ が $\frac{1}{4}$ から $8$ に近づくとき、$y$ は $2$ から $-3$ に近づきます。$x$ の範囲には $\frac{1}{4}$ が含まれていますが、$8$ は含まれていないため、$y$ の範囲は $-3$ を含みません。

よって、値域は $-3 < y \leq 2$ となります。

3. 最終的な答え

$-3 < y \leq 2$