与えられた極限 $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x}$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた極限

$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x}$

を計算します。

2. 解き方の手順

この極限は、0/0の不定形であるため、ロピタルの定理を適用できます。ロピタルの定理とは、$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)}$が$\frac{0}{0}$または$\frac{\infty}{\infty}$の不定形であるとき、もし$\lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$が存在すれば、

$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$

が成り立つという定理です。

この問題では、$f(x) = e^x - 1$、 $g(x) = x$ とおきます。

$f'(x) = e^x$

$g'(x) = 1$

したがって、

$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{e^x}{1}$

$x \to 0$のとき、$e^x \to e^0 = 1$なので、

$\lim_{x \to 0} \frac{e^x}{1} = \frac{1}{1} = 1$

別解として、$e^x$ のマクローリン展開を利用する方法もあります。

$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \dots$

なので、

$e^x - 1 = x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \dots$

したがって、

$\frac{e^x - 1}{x} = 1 + \frac{x}{2!} + \frac{x^2}{3!} + \dots$

よって、

$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = \lim_{x \to 0} (1 + \frac{x}{2!} + \frac{x^2}{3!} + \dots) = 1$

3. 最終的な答え

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