ベクトル関数 $\mathbf{r}(u, v) = (u, v, 3 - 2u - 2v)$ で表される曲面 $S$ が与えられている。定義域は $D: 0 \leq u \leq 1, 0 \leq v \leq 1$ である。 (a) スカラー場 $\phi = xyz$ の $S$ 上の面積分の値を求めよ。 (b) 曲面 $S$ の面積を求めよ。

1. 問題の内容

ベクトル関数 $\mathbf{r}(u, v) = (u, v, 3 - 2u - 2v)$ で表される曲面 $S$ が与えられている。定義域は $D: 0 \leq u \leq 1, 0 \leq v \leq 1$ である。

(a) スカラー場 $\phi = xyz$ の $S$ 上の面積分の値を求めよ。

(b) 曲面 $S$ の面積を求めよ。

2. 解き方の手順

(a) スカラー場の面積分を求める。

まず、$\mathbf{r}_u$ と $\mathbf{r}_v$ を計算する。

$\mathbf{r}_u = \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial u} = (1, 0, -2)$

$\mathbf{r}_v = \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial v} = (0, 1, -2)$

次に、$\mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v$ を計算する。

$\mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 0 & -2 \\ 0 & 1 & -2 \end{vmatrix} = (2, 2, 1)$

$||\mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v|| = \sqrt{2^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3$

スカラー場 $\phi = xyz = u \cdot v \cdot (3 - 2u - 2v)$ である。

したがって、面積分は次のようになる。

$\iint_S \phi \, dS = \iint_D \phi(u, v) ||\mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v|| \, du \, dv = \iint_D u v (3 - 2u - 2v) \cdot 3 \, du \, dv$

$= 3 \int_0^1 \int_0^1 (3uv - 2u^2v - 2uv^2) \, du \, dv = 3 \int_0^1 \left[ \frac{3}{2}u^2v - \frac{2}{3}u^3v - u^2v^2 \right]_0^1 \, dv$

$= 3 \int_0^1 \left( \frac{3}{2}v - \frac{2}{3}v - v^2 \right) \, dv = 3 \int_0^1 \left( \frac{5}{6}v - v^2 \right) \, dv$

$= 3 \left[ \frac{5}{12}v^2 - \frac{1}{3}v^3 \right]_0^1 = 3 \left( \frac{5}{12} - \frac{1}{3} \right) = 3 \left( \frac{5}{12} - \frac{4}{12} \right) = 3 \cdot \frac{1}{12} = \frac{1}{4}$

(b) 曲面 $S$ の面積を求める。

曲面 $S$ の面積は $||\mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v||$ の積分で与えられる。

$A = \iint_D ||\mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v|| \, du \, dv = \iint_D 3 \, du \, dv$

$= 3 \int_0^1 \int_0^1 du \, dv = 3 \int_0^1 [u]_0^1 \, dv = 3 \int_0^1 1 \, dv = 3 [v]_0^1 = 3 \cdot 1 = 3$

3. 最終的な答え

(a) スカラー場 $\phi = xyz$ の $S$ 上の面積分の値: $\frac{1}{4}$

(b) 曲面 $S$ の面積: $3$