ベクトル関数 $\mathbf{r}(t) = (\cos t, \sin t, 1)$ ( $0 \le t \le \pi$ ) で表される曲線を $C$ とするとき、ベクトル場 $\mathbf{a} = (x-z, y-z, x+y-z)$ の $C$ に沿う線積分の値を求めます。

はい、承知いたしました。問題ごとに解答します。

**問題8**

1. 問題の内容

ベクトル関数 $\mathbf{r}(t) = (\cos t, \sin t, 1)$ ( $0 \le t \le \pi$ ) で表される曲線を $C$ とするとき、ベクトル場 $\mathbf{a} = (x-z, y-z, x+y-z)$ の $C$ に沿う線積分の値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、曲線 $C$ に沿ってベクトル場 $\mathbf{a}$ をパラメータ $t$ で表します。

$x = \cos t$, $y = \sin t$, $z = 1$ なので、

$\mathbf{a}(t) = (\cos t - 1, \sin t - 1, \cos t + \sin t - 1)$

次に、$\mathbf{r}'(t)$ を計算します。

$\mathbf{r}'(t) = (-\sin t, \cos t, 0)$

線積分は以下の式で計算されます。

$\int_C \mathbf{a} \cdot d\mathbf{r} = \int_0^\pi \mathbf{a}(t) \cdot \mathbf{r}'(t) dt$

$\mathbf{a}(t) \cdot \mathbf{r}'(t) = (\cos t - 1)(-\sin t) + (\sin t - 1)(\cos t) + (\cos t + \sin t - 1)(0)$

$= -\cos t \sin t + \sin t + \sin t \cos t - \cos t$

$= \sin t - \cos t$

したがって、

$\int_C \mathbf{a} \cdot d\mathbf{r} = \int_0^\pi (\sin t - \cos t) dt = [-\cos t - \sin t]_0^\pi = (-\cos \pi - \sin \pi) - (-\cos 0 - \sin 0) = (1 - 0) - (-1 - 0) = 1 + 1 = 2$

3. 最終的な答え

線積分の値は2です。

**問題9**

1. 問題の内容

ベクトル関数 $\mathbf{r}(u,v) = (u, v, 3-2u-2v)$ ( $D: 0 \le u \le 1, 0 \le v \le 1$ ) で表される曲面 $S$ について、

(a) スカラー場 $\varphi = xyz$ の $S$ 上の面積分の値を求めます。

(b) 曲面 $S$ の面積を求めます。

2. 解き方の手順

(a) $\mathbf{r}_u = (1, 0, -2)$, $\mathbf{r}_v = (0, 1, -2)$

$\mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v = (2, 2, 1)$

$|\mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v| = \sqrt{2^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{9} = 3$

$\varphi(u, v) = u \cdot v \cdot (3 - 2u - 2v)$

$\iint_S \varphi dS = \int_0^1 \int_0^1 uv(3-2u-2v) |\mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v| du dv = 3 \int_0^1 \int_0^1 (3uv - 2u^2v - 2uv^2) du dv$

$= 3 \int_0^1 \left[\frac{3}{2}u^2v - \frac{2}{3}u^3v - u^2v^2\right]_0^1 dv = 3 \int_0^1 (\frac{3}{2}v - \frac{2}{3}v - v^2) dv$

$= 3 \int_0^1 (\frac{5}{6}v - v^2) dv = 3 \left[\frac{5}{12}v^2 - \frac{1}{3}v^3\right]_0^1 = 3 (\frac{5}{12} - \frac{1}{3}) = 3 (\frac{5}{12} - \frac{4}{12}) = 3 (\frac{1}{12}) = \frac{1}{4}$

(b) $面積 = \iint_S dS = \iint_D |\mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v| du dv = \int_0^1 \int_0^1 3 du dv = 3 \int_0^1 [u]_0^1 dv = 3 \int_0^1 dv = 3 [v]_0^1 = 3$

3. 最終的な答え

(a) $\iint_S \varphi dS = \frac{1}{4}$

(b) 曲面 $S$ の面積は3です。

**問題10**

1. 問題の内容

平面 $x=0, x=1, y=0, y=2, z=0, z=3$ で囲まれる立体の表面を $S$ とするとき、ベクトル場 $\mathbf{a} = (x^2z, x-y, yz)$ の $S$ 上の面積分の値を求めます。

2. 解き方の手順

発散定理を使用します。$\iint_S \mathbf{a} \cdot d\mathbf{S} = \iiint_V (\nabla \cdot \mathbf{a}) dV$

$\nabla \cdot \mathbf{a} = \frac{\partial}{\partial x}(x^2z) + \frac{\partial}{\partial y}(x-y) + \frac{\partial}{\partial z}(yz) = 2xz - 1 + y$

$\iiint_V (2xz - 1 + y) dV = \int_0^1 \int_0^2 \int_0^3 (2xz - 1 + y) dz dy dx$

$= \int_0^1 \int_0^2 [x z^2 - z + yz]_0^3 dy dx = \int_0^1 \int_0^2 (9x - 3 + 3y) dy dx$

$= \int_0^1 [9xy - 3y + \frac{3}{2}y^2]_0^2 dx = \int_0^1 (18x - 6 + 6) dx = \int_0^1 18x dx$

$= [9x^2]_0^1 = 9$

3. 最終的な答え

面積分の値は9です。

**問題11**

1. 問題の内容

$S$ を半球面 $x^2 + y^2 + z^2 = 4$ ($z \ge 0$) とし、$S$ の単位法線ベクトル $\mathbf{n}$ は球面から外向きとします。$S$ の境界を $C: \mathbf{r}(t) = (2\cos t, 2\sin t, 0)$ ($0 \le t \le 2\pi$) とするとき、ベクトル場 $\mathbf{a} = (x+z, x+y, z^2)$ について、$\iint_S (\nabla \times \mathbf{a}) \cdot \mathbf{n} dS$ を求めます。

2. 解き方の手順

ストークスの定理を使用します。$\iint_S (\nabla \times \mathbf{a}) \cdot \mathbf{n} dS = \oint_C \mathbf{a} \cdot d\mathbf{r}$

$\mathbf{a} = (x+z, x+y, z^2)$

$\mathbf{r}(t) = (2\cos t, 2\sin t, 0)$

$x = 2\cos t$, $y = 2\sin t$, $z = 0$

$\mathbf{a}(t) = (2\cos t + 0, 2\cos t + 2\sin t, 0^2) = (2\cos t, 2\cos t + 2\sin t, 0)$

$\mathbf{r}'(t) = (-2\sin t, 2\cos t, 0)$

$\oint_C \mathbf{a} \cdot d\mathbf{r} = \int_0^{2\pi} \mathbf{a}(t) \cdot \mathbf{r}'(t) dt = \int_0^{2\pi} (2\cos t)(-2\sin t) + (2\cos t + 2\sin t)(2\cos t) + 0(0) dt$

$= \int_0^{2\pi} (-4\cos t \sin t + 4\cos^2 t + 4\sin t \cos t) dt = \int_0^{2\pi} 4\cos^2 t dt$

$= 4 \int_0^{2\pi} \frac{1 + \cos(2t)}{2} dt = 2 \int_0^{2\pi} (1 + \cos(2t)) dt = 2 [t + \frac{1}{2}\sin(2t)]_0^{2\pi} = 2 (2\pi + 0 - 0 - 0) = 4\pi$

3. 最終的な答え

$\iint_S (\nabla \times \mathbf{a}) \cdot \mathbf{n} dS = 4\pi$