ベクトル関数 $\vec{r}(t) = (\cos t, \sin t, 1)$ ($0 \le t \le \pi$) で表される曲線 $C$ に沿って、ベクトル場 $\vec{a} = (x-z, y-z, x+y-z)$ の線積分の値を求めます。

1. 問題の内容

ベクトル関数 $\vec{r}(t) = (\cos t, \sin t, 1)$ ($0 \le t \le \pi$) で表される曲線 $C$ に沿って、ベクトル場 $\vec{a} = (x-z, y-z, x+y-z)$ の線積分の値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、ベクトル場 $\vec{a}$ をパラメータ $t$ で表します。

$x = \cos t$, $y = \sin t$, $z = 1$ なので、

$\vec{a}(t) = (\cos t - 1, \sin t - 1, \cos t + \sin t - 1)$ となります。

次に、曲線 $C$ の接ベクトル $\vec{r}'(t)$ を求めます。

$\vec{r}(t) = (\cos t, \sin t, 1)$ を $t$ で微分すると、

$\vec{r}'(t) = (-\sin t, \cos t, 0)$ となります。

線積分は以下の式で計算できます。

$\int_C \vec{a} \cdot d\vec{r} = \int_0^\pi \vec{a}(t) \cdot \vec{r}'(t) dt$

$\vec{a}(t) \cdot \vec{r}'(t)$ を計算します。

$(\cos t - 1, \sin t - 1, \cos t + \sin t - 1) \cdot (-\sin t, \cos t, 0) = (\cos t - 1)(-\sin t) + (\sin t - 1)(\cos t) + (\cos t + \sin t - 1)(0)$

$= -\cos t \sin t + \sin t + \sin t \cos t - \cos t$

$= \sin t - \cos t$

よって、線積分は以下のようになります。

$\int_0^\pi (\sin t - \cos t) dt = \left[-\cos t - \sin t\right]_0^\pi$

$= (-\cos \pi - \sin \pi) - (-\cos 0 - \sin 0)$

$= (-(-1) - 0) - (-1 - 0)$

$= 1 - (-1) = 1 + 1 = 2$

3. 最終的な答え

線積分の値は2です。