ベクトル関数 $\mathbf{r}(t) = (\cos t, \sin t, 1)$ ($0 \le t \le \pi$) で表される曲線 $C$ に沿って、ベクトル場 $\mathbf{a} = (x-z, y-z, x+y-z)$ の線積分を求める。

1. 問題の内容

ベクトル関数 $\mathbf{r}(t) = (\cos t, \sin t, 1)$ ($0 \le t \le \pi$) で表される曲線 $C$ に沿って、ベクトル場 $\mathbf{a} = (x-z, y-z, x+y-z)$ の線積分を求める。

2. 解き方の手順

まず、曲線 $C$ のパラメータ表示が $\mathbf{r}(t) = (x(t), y(t), z(t)) = (\cos t, \sin t, 1)$ で与えられているので、$x = \cos t$, $y = \sin t$, $z = 1$ である。

次に、ベクトル場 $\mathbf{a}$ を $\mathbf{r}(t)$ でパラメータ表示する。

$\mathbf{a}(\mathbf{r}(t)) = (\cos t - 1, \sin t - 1, \cos t + \sin t - 1)$

次に、$\mathbf{r}(t)$ の微分 $\mathbf{r}'(t)$ を計算する。

$\mathbf{r}'(t) = (-\sin t, \cos t, 0)$

線積分は次の式で与えられる。

$\int_C \mathbf{a} \cdot d\mathbf{r} = \int_0^\pi \mathbf{a}(\mathbf{r}(t)) \cdot \mathbf{r}'(t) dt$

$\mathbf{a}(\mathbf{r}(t)) \cdot \mathbf{r}'(t) = (\cos t - 1)(-\sin t) + (\sin t - 1)(\cos t) + (\cos t + \sin t - 1)(0)$

$= -\cos t \sin t + \sin t + \sin t \cos t - \cos t$

$= \sin t - \cos t$

したがって、線積分は

$\int_0^\pi (\sin t - \cos t) dt = [-\cos t - \sin t]_0^\pi$

$= (-\cos \pi - \sin \pi) - (-\cos 0 - \sin 0)$

$= (-(-1) - 0) - (-1 - 0)$

$= 1 - (-1)$

$= 1 + 1$

$= 2$

3. 最終的な答え

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