与えられた無限級数の和を計算します。問題の級数は次の通りです。 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^{2-n} - (-1)^n}{2^{3n+1}}$

1. 問題の内容

与えられた無限級数の和を計算します。問題の級数は次の通りです。

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^{2-n} - (-1)^n}{2^{3n+1}}$

2. 解き方の手順

まず、級数を2つの級数に分割します。

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^{2-n} - (-1)^n}{2^{3n+1}} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^{2-n}}{2^{3n+1}} - \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2^{3n+1}}$

次に、それぞれの級数を計算します。

最初の級数:

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^{2-n}}{2^{3n+1}} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^2 \cdot 3^{-n}}{2 \cdot 2^{3n}} = \frac{9}{2} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{3^n \cdot 8^n} = \frac{9}{2} \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{1}{24}\right)^n$

これは初項 $\frac{1}{24}$、公比 $\frac{1}{24}$ の等比級数なので、

$\frac{9}{2} \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{1}{24}\right)^n = \frac{9}{2} \cdot \frac{\frac{1}{24}}{1-\frac{1}{24}} = \frac{9}{2} \cdot \frac{\frac{1}{24}}{\frac{23}{24}} = \frac{9}{2} \cdot \frac{1}{23} = \frac{9}{46}$

2番目の級数:

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2^{3n+1}} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2 \cdot 8^n} = \frac{1}{2} \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{-1}{8}\right)^n$

これは初項 $-\frac{1}{8}$、公比 $-\frac{1}{8}$ の等比級数なので、

$\frac{1}{2} \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{-1}{8}\right)^n = \frac{1}{2} \cdot \frac{-\frac{1}{8}}{1+\frac{1}{8}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{-\frac{1}{8}}{\frac{9}{8}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{-1}{9} = -\frac{1}{18}$

したがって、求める級数の和は次のようになります。

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^{2-n} - (-1)^n}{2^{3n+1}} = \frac{9}{46} - \left(-\frac{1}{18}\right) = \frac{9}{46} + \frac{1}{18} = \frac{9 \cdot 9 + 23}{46 \cdot 9} = \frac{81+23}{414} = \frac{104}{414} = \frac{52}{207}$

3. 最終的な答え

$\frac{52}{207}$